四元数与旋转

四元数与旋转

科技前沿 • 2025-02-19 16:01 • 阅读 47

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转自：http://www.cnblogs.com/kfqcome/archive/2011/08/17/2143289.html

一．四元组基础

Q(x,y,z,w)，其中x，y，z用来确定旋转轴，w为旋转的角度

Q=w+xi+yj+zk，i，j，k为三个虚轴的单位分量

I*j=k

J*k=i;

K*i=j;

叉乘：

c=a × b=

| i     j     k|
|a1  b1  c1|
|a2  b2  c2|
=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

c也为一个向量，且c的长度为|a||b|sin(theta)，垂直于a和b所在的平面，方向由右手法则来判定，用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向

1．四元组相乘：

Q1=w1+x1i+y1j+z1k=(w1,v1)

Q2=w2+x2i+y2j+z2k=(w2,v2)

Q1*Q2=(w1*w2-<v1,v2>,w1*v2+w2*v1+v1xv2)

( w1+x1i+y1j+z1k)*( w2+x2i+y2j+z2k)

=w1*w2-x1*x2-y1*y2-z1*z2+

(W1*x2+x1*w2+y1*z2-z1-y2)i+

(y1*w2+w1*y2+z1*x2-x1*z2)j+

(w1*z2+z1*w2+x1*y2-y1*x2)k

对于其中的轴部分，假如v1//v2，则有v1 x v2=0（平行向量的叉乘结果为0）

2．四元组的点乘，点乘积为数值：

Q1.*Q2=w1*w2+<v1,v2>=w1*w2+x1*x2+y1*y2+z1*z2;

3．数乘

s为一实数，q为四元组，则有sq=qs

4．共轭

p=(w,v)，则p*=(w,-v)

(pq)*=q*p*

N(q)=w²+x²+y²+z²

q^-1=q*/N(q)---------------à显然可得^-1=(1,0)

二．使用四元数旋转向量

假如有一表示向量的四元组q=(w,v)，对其应用旋转量p后的结果为：

q’=pqp^-1=(w,v’)

从上可以看出，计算的结果q’的实部和q的实部是相等的，并且有N(v)=N(v’)

如果N(q)=1，则可以令q=(cosa,usina)，u也为一个单位向量，则q’是q绕u旋转2a个弧度的结果

假如S(q)表示q的实部，则有2S(q)=q+q*

2S(pqp^-1)= pqp^-1+( pqp^-1)*=pqp*+(pqp*)*=pqp*+pq*p*=p(q+q*)p*=2S(q)

（这里由于p是单位四元数，所以有p^-1等于p*）