麦克劳林展开(张宇十个泰勒公式)

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数学史上很早就出现了级数，两千多年前人们就有了粗略的级数思想。古希腊亚里士多德就知道公比小于1(大于零)的几何级数可以求和数。芝诺的二分法将1分解成无限个层次:

在阿基米德的著作《抛物线图形的求积法》中，用几何级数求抛物线弓形面积，得到级数:

中国古代《庄子·天下》中“一尺拍，半日取之，天下无穷”的思想，蕴含着极限的思想，用数学形式表达时也是一个无穷级数。

在中世纪，数学家和哲学家对一些涉及无穷思想的悖论进行了激烈的争论，从而导致了对无穷级数的研究。最具代表性的是法国数学家奥雷西姆，他用原始的方法证明了调和级数:

是发散的，可以用现在的形式表示为:

从本质上讲，中世纪的级数理论并没有取得突破。它的主要贡献不在于得到的具体结果，而在于促使人们接受一种新的观点，即数学中可以自由地认识无限过程。这为理解无穷过程铺平了道路，为级数的形式处理奠定了思想基础。

早期数学家认为级数只有凭直觉才能收敛，自然地将级数从有限项推广到无限项，导致了有限定律无限展开的出现。17世纪，随着微积分的出现，许多数学家通过微积分基本运算和级数运算的形式结合，得到了初等函数的一些幂级数展开式，而级数在解析运算中作为微积分的有力工具被广泛使用，这使得无穷级数成为微积分中不可缺少的一部分。

1669年，牛顿在他的用无穷多项方程分析中，用级数反演法给出了sinx，cosx，arcsinx，arctanx，e x的幂级数。格雷戈里获得了tanx、secx等函数的级数，莱布尼茨在1673年独立获得了sinx、cosx、arctanx等函数的无穷级数展开，以及圆面积、双曲面积的具体展开。在微积分的早期研究中，处理一些超越函数如指数函数是相当困难的，但人们发现用它们的级数来处理会非常有效。因此，无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的重要组成部分。有时候用无穷级数来计算一些特殊的量，比如π，E，求隐函数的显式解。

17、18世纪后期，为了适应航海、天文、地理的发展，数学家面临的问题之一就是函数表的插值。由于函数表的高精度要求，数学家们开始寻求更好的插值方法。牛顿和格雷戈里给出了著名的插值公式:

1715年，泰勒发表了增量法及其逆，奠定了有限差分法的基础。在17世纪，牛顿、莱布尼茨等人已经研究了有限差分问题，而泰勒的工作使有限差分法从有限方法(如二项式定理、有理函数的长除法、待定系数法等)过渡。)到一般方法。在这本书中，他给出了一个著名的一元幂级数展开公式，即泰勒级数:

泰勒是第一个出版这个系列的人，但他不是第一个发现它的数学家。在他之前，格里高利、牛顿、莱布尼茨、约翰·伯努利和德·莫维尔等数学家都研究过这个级数。1717年，泰勒用这个级数解方程，取得了很好的结果。但他的证明并不严格，也没有考虑收敛问题，所以在当时影响并不太大。直到1755年，欧拉在微分学中推广了泰勒级数。

泰勒级数应用于多元函数时，其影响增大。然后拉格朗日用带余项的泰勒级数作为函数论的基础，正式确立了泰勒级数的重要性。后来，麦克劳林重新得到了泰勒公式在口=0时的特例。这种特例的泰勒级数在现代微积分教材中已被称为“麦克劳林级数”。

詹姆斯·伯努利和约翰·伯努利在级数方面做了很多工作。詹姆斯·伯努利从1689年到1704年写了五篇关于无穷级数的论文，成为当时这一领域的权威。这些论文的主题是函数的级数表示及其在求函数的微分和积分、求曲线下面积和曲线长度等方面的应用。所有这些系列应用都为微积分做出了巨大贡献。

欧拉对级数的研究‍

随着级数理论的发展，原有的级数思想已经不能解释某些级数，如渐近级数、循环级数、连分式等。这使得很多数学家使用更形式化的方法来解决级数的问题，欧拉就是其中之一。欧拉的工作非常广泛。他把无穷级数从一般的运算工具变成了重要的研究课题，使无穷级数的应用和发展达到了另一个高度，为后来无穷级数理论的发展打下了坚实的基础，向我们展示了许多精妙的思想，留下了深刻的启示。本文从以下几个方面论述欧拉的级数思想。

对欧拉级数敛散性的理解

形式观点在18世纪的无穷级数作品中占主导地位。级数被视为一个无限多项式，并被视为多项式。对其收敛性和发散性还没有深入的研究。欧拉或多或少地意识到了收敛的重要性，他也看到了一些关于发散级数的困难，尤其是由它们的计算而产生的困难。欧拉对收敛级数的定义是，“级数的项连续递减，当级数的项数趋于无穷大时，其项完全消失。这样的级数叫做收敛级数。”“发散级数是那些不收敛的级数，也就是级数的项是非零的有限或无限级数。在级数理论的研究中，欧拉还应用了一个原理:如果级数的部分和为无穷小，则级数收敛。这个原理看起来像柯西准则的非标准版本，但它是一种现代的方法来找出收敛级数和发散级数的区别。欧拉对收敛级数的定义不尽如人意，欧拉也承认这一点。因为欧拉研究过一些级数，级数的项彼此越来越接近，但和趋于无穷大，比如调和级数，欧拉也研究过。

谐波系

18世纪，随着级数理论的不断发展，各种初等函数的级数展开相继得到，并被广泛用于分析运算中表示函数，成为微积分的有力工具。但对于级数理论本身来说，最有启发性的工作是调和级数的和是无穷的证明。调和级数的讨论引起了学者们对发散级数的兴趣，产生了许多重要的结果。

欧拉调和级数研究:

并且可以用对数函数求调和级数的有限和。

欧拉来自

那我们走吧

引入x=1，2，3，…得到

把所有种类加起来，注意每个对数项都是两个对数的差，你得到:

或者

其中C代表无限个有限算术的和，欧拉近似法已经计算出C的值，得到C = 0.577215664901532860651209…这个C的欧拉常数，也就是现在俗称的，用γ(gamma)表示。这是继π和e之后的又一个重要数字，今天获得的γ的更精确表示如下。

在公式中，从两边减去logn得到:

当n为∞时，趋于0。

因此

得到y的最简单表达式。γ的性质至今没有搞清楚(是代数数还是超越数)。

欧拉常数——最神秘的数，调和级数的乘积，至今看不到它的脸。

巴塞尔问题

欧拉在数学领域的第一个显著成就是在1735年解决了巴塞尔问题。巴兹尔问题是指求逆整数平方和的问题，即:

巴兹尔问题是由法国数学家哥里在1644年提出的。后来，这个问题在1689年被雅各布·伯努利收入一本名为《没有结论的无穷级数》的书中，引起了数学家们的注意。

很多数学家都讨论过。尽管每个人都试图研究这类级数的收敛性，但他们未能给出级数和的精确值，包括Oresme，Leibniz，Pietro Mengoli，雅各布·伯努利和John Bernoulli。

1731年，24岁的欧拉从他的老师约翰·f·伯努利那里听说了这个难题。经过一年的反复研究，他找到了解开这个谜的钥匙。他激动地写道:

…完全出乎意料，我发现了一个基于π的奇妙公式。

欧拉分享了解决巴塞尔问题的四种不同方法，其中最著名的是第三种方法。

解决这个问题的两个重要环节是:利用正弦函数的泰勒展开，将正弦函数表示为无穷多项式；研究了一般代数有限多项式的性质，并将其推广到无限多项式，即形式化。

首先，欧拉给出了一个阶多项式p(x)，它满足有n个非零根a1，a2，a3，…，an。并且p(0)=1，即:

欧拉顺序:

然后对正弦函数sinx进行泰勒展开，得到:

获取:

当x≠0时，

所以p(x)=0(x≠0)的解等价于sinx=0的解，即x = kπ，k = 1，2，…

然后:

那就是:

成立。欧拉得到的这个方程非常重要，是解决这个问题的关键。然后，欧拉展开这个方程的右端，得到:

根据系数等式，我们得到

也就是

在这个过程中，明显可以看出欧拉处理级数的形式方案。通过这两个重要环节的结合，欧拉发现了其他数学家几十年未能发现的结论。

欧拉的工作非常重要，尤其是关于整数幂的倒数和一万的巧妙关系，这是人类认识上的一大进步。