自然数包括负数吗(√2是有理数还是无理数)

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前段时间收到一位热心读者的邮件。信中提到，如果把1-1+1-1 … = 1/2当作事实，会得出1+2+3+… =-1/12这样一个无法理解的结论。这位读者提到的自然数之和，恰好在量子论和弦论中起着重要的作用。从true 空到空的维数的能量和自然数的和有微妙的关系。在这个小小的数学魔术中，甚至还有时间不连续的秘密空。

作者|董伟元

数学老师曾经告诉我们，只有收敛级数才能解无穷项之和。但是，在一些科普书籍中，我们会遇到一个神奇的总和:

所有自然数之和怎么可能是负数，怎么可能是分数？这是人性的扭曲还是道德的沦丧？

把对称轴想象成级数的和。

为了理解这个古怪的结论，我们先来看一个简单的例子:1，-1，1，-1，…这个数列能求出无穷项的和吗？意大利数学家格兰迪(1671-1742)早在1703年就开始认真考虑这个问题。可以说这是所有发散级数求和研究的起点，后来被命名为“格兰迪级数”。

意大利数学家格兰迪来源:维基百科

可能有朋友猜测，既然这个序列中1和-1一样多，那么总和应该等于0。可惜这样的猜测是错误的。无限集就像一个再生能力很强的变形虫，部分和整体一样多。在我们从序列中取出任何一个1或-1之后，剩下的1和-1的数目仍然是相同的。如果剩下的1和-1加起来是零，那么总和不是只由先取出的1或-1的个数决定吗——也就是任意整数？显然，这太不靠谱了。似乎根本无法通过比较1和-1的数字来总结。

另一种方法是借助收敛级数寻找线索。我们知道在| q | < 1: 00，

现在我们粗暴地让q=-1，于是就有了。

这个结果看似可以接受，但是，毕竟q=-1是一个“不合法”的条件，我们需要一个更合理的方式来安抚内心的不安。如果把这个级数的前n项总结为A(n)，那么现在开始找A(∞)。

哈！根据这个方程，我们再次得到a (∞) =的结果。这次好像没有明显违法，警察来了也不怕。但是，我还是觉得有些不对劲。

A(1)=1

A(2)=1-1=0

A(3)=1-1+1=1

…

可以看到A(n)在1和0之间来回弹跳。根据极限的定义，

这个限制是不存在的。当我们写下符号A(∞)时，它所指的东西并没有明确的定义。其实这也是发散级数和的基本问题:如何定义发散级数和。

的定义不止一个。一般来说有两类:切萨罗和、阿贝尔和。此外，Ramanukin和Riemann发展了许多更一般的理论，中间有许多来自Euler的贡献。那些数学语言虽然严谨，但催眠和劝导的副作用也不小。因此，本文不打算赘述来自集合论的基本定义，只是用一个非常“物理”的角度来定义:A(∞)表示所有A(n)的平均值。

用“平均值”定义的求和法，能使许多发散级数求和。例如

1-2+3-4…

这个系列，你也可以用同样的方法直接用眼睛瞪出结果。我们用B(n)来表示前n项之和，即

因此

B(0)=0

B(1)=1

B(2)=1-2=-1

B(3)=1-2+3=2

…

在图上画出这些B(n)对应的点后，就不需要用笔计算了。你可以直接用眼睛看到所有B(n)的平均值是1/4。

如果只是看图不放心，我们还可以借助前面A (∞)的结论来计算B(∞)=:

稍微调整等式右侧的计算顺序。首先，用后括号中的第n项减去前括号中的第n项，然后相加。

也就是

A(∞)-B(∞)=B(∞)

因此

B(∞)= A(∞)=

将自然数之和变为-1/12的魔法

当然，有时候画点，直接用眼睛瞪出结果也是需要一些技巧的。以所有自然数之和为例，我们同样让C(n)表示前n项之和。

有麻烦了！很明显，C(n)对应的点都分布在一条上升的抛物线上，所以无法直接看到平均值，似乎根本不存在有限的平均值！别担心，我们可以继续改造。

这样，我们就可以把每个C(n)的对应点分成两个“半个点”，分别对应上式中的绿色和紫色项，分别画出来，实际上可以组成两条对称的曲线。

当我们辛辛苦苦画完了无限的“半个点”。您可以指向两条曲线之间的对称轴并宣布:

因为所有C(n)的平均值等于所有“半个点”的平均值，而“半个点”在两条曲线上的分布是完全对称的，只有在绿色曲线的起点有一个微不足道的差值0。

除了从图中猜测数值，我们还可以借助刚才那个B (∞) =的结果再次计算C(∞)。

调整顺序后

所以去吧

因此

其实有很多方法可以得到-1/12的结果。例如，神奇的泽塔函数

这个以复数s为变量的函数，因为著名的黎曼猜想和与数论的紧密联系，被反复研究。数学家们可以写出这个函数的许多变体，其中之一是解析地推广到所有复平面。

这个表格也可以用来计算

经过这么多各种各样的方式，条条大路通-1/12的结果。能不能把1+2+3+…=-1/12的公式大模大样地写进中学课本？我相信很多人会和我一样害怕。因为在以上所有的推导过程中，都有一个比较隐蔽的问题，就是等号的含义。将

或者

直接写

看似理所当然，但实际上，在两个公式中，前面的“=”代表“定义为”，而不是大小相等。因此，更清晰的措辞应该是

和

这样我们就可以看到-1/12的值并没有1+1=2那么自然。而是需要事先假设“所有自然数之和是一个确定的数”，然后精心选择一个逻辑自洽性最好的值，指定为所有自然数之和。但是，当逻辑自洽和直觉发生明显冲突时，我们都会感到惊讶，这在数学的发展中并不是什么新鲜事。

伸向无限远的剪刀

在前面的讨论中，我们直接忽略了数学极限的概念，粗暴地用平均值作为发散级数的和。现在我们再重新拿起极限的概念，从另一个角度看看-1/12是怎么出来的。

对于散度级数C(n)，我们可以引入剪刀差函数f(x)来抑制那些趋于无穷大的项，使得散度趋势在特定位置N附近停止，最终收敛到某个极限S(N)。这样，我们用极限的标准概念构造了一个S(N)。当N为有限时，S(N)为有限值，当N趋于无穷大时，S(N)对应所有自然数之和。

有很多功能可以充当剪刀，比如我们拿

此刻

通过数值计算，我们发现S(N)是随着N的增加而向着正无穷方向运行的，这符合我们之前的直觉，但是约定的-1/12呢？别急，我们再把S(N)展开1/N。我们发现S(N)在N较大时的数值结果可以很好地用下面的展开式来拟合。

哈！真不敢相信我又看到了这个-1/12。它是S(N)展开式中的一个常数项。也就是说，S(N)中与N的变化无关的分量是-1/12。当N足够大时，那些带有1/N的项可以忽略，S(N)可以看成一条最低点在-1/12的抛物线。

我们取剪刀函数f (x) = e (-x)再试一次。此刻

这个总数可以严格计算。我们先求下式两边β的导数。

可以得到

在N大的相同条件下做1/N展开，就会得到

取β=1得到

常数项-1/12也出现了，也是根下垂到-1/12的抛物线。

如果直接把f(x)作为跳跃函数，也就是在n=N处突然截断，那么

不会有-1/12的常数项。

似乎除了跳跃函数的突然截断，还可以得到其他的平滑截断方法。

这个有趣的结果。这似乎在告诉我们，所有自然数之和，尽管注定是无穷大，却因为某种神秘的原因，一直对-1/12情有独钟。或者，换句话说，

发散只是平庸的背景色，-1/12是刻在背景色上的性格内核。

真空能量

从实用的角度来说，我们有时需要像使用收敛级数一样处理自然数的和，所以我们必须找到一定的“缰绳”来控制。比如在研究真空能量时，物理学家碰到所有自然数的和，非常希望这个和是一个确定的数。

在量子场论的理论模型中，真理空就像一张立体的弹簧网，由无数的小弹簧纵横交织而成。所谓粒子，就是有些小弹簧振动得足够剧烈，以至于从远处看，以为弹簧网里有异物，但只要凑近了，就会看到那里除了振动本身什么都没有。也就是说，粒子本质上是真空振动。所以当能量变化时，粒子数不受任何守恒定律约束，可以增加或减少空。但粒子能否产生或消失，取决于小弹簧的振动频率。当振动频率为ω时，粒子数N与场的能量E之间存在这样的关系:

从关系式中可以看出，True 空每节约足够ω的能量，就会产生一个粒子；相反，每次还原都会擦除一个粒子。换句话说，每个粒子实际上是一个ω大小的能量包。有趣的是，当n=0时，对应的是true 空中没有粒子的情况，能量为ω。也就是说，当真空的能量低到可以再低的时候，能量仍然不为零，这就是真空的零点能。我们具体计算一下有限空空间中的真空能量，看看它和所有自然数之和有什么关系。

将所有频率的零能量相加，true 空中的总能量为

看，自然数的和。

所以它出现了，现在你应该能理解物理学家有多希望了。

这是一个确定的值。更有趣的是，如果我们认为自然数之和是-1/12，我们甚至可以设计一个物理实验来验证这个结论。

如下图所示，放置三块平行的金属板，使甲、乙距离为A，乙、丙距离为B。

根据刚才的结论，我们知道甲、乙之间的真实空能量为

C之间的真空能量为

现在我们想知道当A < B时，中间位置的金属板B会受到哪个方向的力，根据能量对位置的偏导数，可以求解出受力情况。人们发现，如果

金属板B将受到向右的力；否则，它会被迫向左。

实际上，实验装置可以进一步简化。我们可以把最右边的C取无穷远，只留下A和B，然后衡量A和B是相互吸引还是相互排斥。如果它们互相排斥，就意味着

否则，这意味着

这个实验思想是由荷兰物理学家卡西米尔(1909-2000)于1948年首先提出的。当然，实验的目的不是为了测量自然数的和，而是为了验证真空零点能的存在。其实卡西米尔在提出这个实验的时候，就预言了两块金属板会相互吸引，也就是相互对应。

，因为他的理论计算过程采用了解析延拓后的黎曼ζ函数。1996年，华盛顿大学的Lamoreaux通过实验证实了卡西米尔效应的存在，他的论文于1997年1月发表在《物理评论快报》(PRL)上。

需要澄清的是，卡西米尔效应的实验证明，它只能说明真空零点能的存在，而不能真正用于验证数学意义上所有自然数的和。其实现实中金属板只能阻挡有限频率范围内的电磁波。当频率超过一定值时，金属板无法阻挡这种极高频率的波。因此，从更精确的角度计算卡西米尔效应时，应该考虑这种高频截断。但具体计算会用到欧拉-麦克劳克林公式和伯努利数，这些都是催眠内容，本文不再赘述。

让我们转向弦理论，看看所有自然数的和与维数的关系。

空的纬度

如前所述，两端固定的弹簧上只能有驻波，所有振动频率只能是最低频率的整数倍。对于一端完全自由的弦，结论也成立。固定端意味着终点的速度为零，而自由端意味着终点的加速度为零。两者的区别无非是傅立叶分解应该写什么。

仍然

仅仅…也就是说，一个长度为L的字符串必须具有类似自然数序列的离散频谱。

另外，弦论中的量子化方法和量子场论中使用的技术手段是一样的，所以也是存在的。

关系。这意味着能量最低的弦不是完全静止的，而是

能量，在每一个可以振动的维度，都有这些能量。

假设空的维间度为D，那么作为光子激发的弦的最低总能量为

适当的又出现了。

相对论告诉我们光子的最低能量应该为零，所以与相对论兼容的弦理论必须满足。

演绎到这里，我们就要牺牲了。

这个大招，解决d=25的问题，即空之间的维度必须是25维，加上时间，总共是26维空。

在超弦理论中，由于超对称性的引入，弦的基态能量增加到三倍，光子能量约束条件变成

由此，求出d=9，加上一个时间维度，总共做了10个时间维度空。

以上是需要25+1维时间空的玻色弦理论和需要9+1维时间空的超弦理论的故事大纲。希望读者能借助这些例子，对自然数和在物理学中的作用建立一些形象化的认识。

离散时间空

为了保持话题的衔接，前面的讨论中故意省略了很多有趣的细节。例如，在弦的基态振动模式中，如果有

成分，那么肯定有

这意味着只有弦的一个振动模式包含无限的能量。同样，真空零点能的计算也必然包含无穷能量。显然，这太不合适了。我们的理论模型需要一个边界来防止这种极高频率方向的“紫外线灾难”。

因为我们允许无限小波长的存在，所以可以产生无限频率。那么我们自然会意识到，理论模型中空之间必然存在一个有限的最小尺度，可以消除“紫外线灾难”。说白了，空不可能是连续的舞台，但一定是离散的梅花桩。最小规模是多少？当然，一个自然的候选是普朗克长度。

如果一个粒子的波长比普朗克长度短，那么这个粒子会因为能量太高而在原位把自己变成一个黑洞，这个黑洞覆盖的面积会超过普朗克长度。因此，普朗克长度成为现有理论中时间空最自然的基本像素。

所以，前一个

它变成了。

很明显，能量的比例部分，在B板左右两侧产生的力总是相互抵消，只有第二部分的能量，也就是成反比的能量，对B板施加了一个力。所以卡西米尔效应是两个巨大的第一项刚好相互抵消后对第二项的作用，所以这个力极其微弱。只有当两块面积为平方米的金属板接近微米距离时，才能产生可测量的吸引力。

现在我们真的可以解释卡西米尔效应和自然数之和之间的关系了。如果以后有什么民事主体试图用这个实验证明自然数之和是负数，我们可以毫不犹豫地给他一个白眼。