48赫兹是什么意思_频率1赫兹是什么意思

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作者|张(北京大学数学科学研究所)

来源|本文原载于《数学通报》2005年第44卷第2期。感谢数学通报授权转载！

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4数学与人类文明

4.1数学和西方宗教

自古希腊以来，数学已经成为人类三大信仰的基石。

首先，宇宙的根本规律在于数学。用毕达哥拉斯的话说，一切都是有数的。

其次，世界上有严格的道理。它们是理性的产物，是严格逻辑的结果。它们是普遍适用的。勾股定理已经有两千多年的历史了，至今依然如新。但其他学科如物理、化学、生物等。，他们的结论往往有被推翻的危险。世界上有永恒的东西。数学对象，比如数字，必须是永恒的，不在时间之内。其实古代人对数字“2”的理解和现在人的理解没什么区别。

第三，有一个超感官的可知世界。几何中讨论的严格圆在现实世界中是不存在的。无论我们多么小心翼翼地使用圆规，我们画出的圆总有一些不完美和不规则之处。这告诉我们，所有严格的推理只能应用于思想的对象，而不是感性的对象。当数学家证明一个三角形命题时，它涉及的不是问题中某处画出的图形，而是他只能在脑海中看到的东西。如果我们进一步思考，我们会承认思想比感官更高贵，思想的对象比感官知觉的对象更真实。因为感觉的对象是可变的、不完全的，而思想的对象是永恒的。

这种对数学的信仰深深影响了后来的西方哲学和神学。自毕达哥拉斯以来，尤其是柏拉图，理性主义宗教一直被数学和数学方法所支配。比如在西方，基督徒认为基督就是道，神学家追求上帝存在和灵魂不灭的逻辑证明就来源于此。柏拉图认为有两个世界:

一个视觉的世界，一个感觉的世界，一个“观点”的世界；

一个智慧的世界，一个超越感觉的世界，一个“真知”的世界。

柏拉图在《蒂米奥——通过复制理想的数学模型来创造我们的宇宙》一书中对创造的解释。这导致了早期基督教思想中的神创论，一种受柏拉图影响的高度数学化的宇宙观也可以在犹太和伊斯兰教的教义中找到。柏拉图的观点也被犹太、基督教和伊斯兰教的哲学家用来寻找神和灵魂如何与物质世界互动。

柏拉图的理念论也深深影响了西方文学。法国著名作家雨果在《克伦威尔序》中说，人生有两种，一种是暂时的，一种是不朽的，一种是尘世的，一种是天上的。就像两条曲线的公共切点。

著名文学理论家坦纳在《英国文学史》序言中说:“当你用眼睛观察一个看得见的人时，你在寻找什么？你在找隐形人。你听到的对话，看到的动作，看到的事实，比如他的姿势，头的转动，穿的衣服，都只是表象；他们下面有东西，……一个内在的人藏在外在的人下面。”

4.2欧几里得几何的影响

欧几里得几何是一种推理模式，其特点是简单控制复杂，以少胜多。这本书成了后人模仿的范本。下面举几个典型的例子。

阿基米德证明杠杆定律不是用重物做实验，而是用欧几里德的方式，从“等重物体在离支点等距离处平衡”的公设出发。

牛顿把著名的三大定律称为“公理或运动定律”。基于三大定律和万有引力定律，建立了他的力学体系。他的《自然哲学的数学原理》具有欧几里得结构。

英国的马尔萨斯(1766-1834)是世界上第一个为人口学建立科学理论的人。他的理论对世界各国的人口政策产生了巨大影响。马尔萨斯的“人口理论”在方法上确实是欧几里得的。他从公理出发研究人口发展规律。在书的开头，他写道:

我认为可以提出两个假设。(照例，论证以公理为出发点。)第一，食物是人类生存的必需品；第二，性也是人类生存所必需的，它会保持现有的状况…

然后他从人口增长和粮食供求增长的分析建立了他的数学模型。这个模型简洁而有说服力，对各国的人口政策影响很大。

令人惊讶的是，欧几里得的模型也被扩展到了政治学。美国独立宣言是一个著名的例子。写独立宣言是为了证明反抗大英帝国的完全合理性。美国第三任总统杰斐逊(1743-1826)是这一宣言的主要起草人。他试图借助欧几里德的模型让人们相信宣言的公平性和合理性。“我们认为这些真理是不言而喻的……”，不仅所有的直角都是平等的，而且“所有的人生来平等”。这些不言而喻的真理包括，如果任何政府不遵守这些前提条件，那么“人民有权更换或废除它”。在宣言主要部分的开头，英国国王乔治的政府不符合上述条件。“因此…我们宣布，这些联合起来的殖民地根据它们的合法权利，是而且应该是自由和独立的国家。”我们顺便指出，杰斐逊热爱文学、数学、自然科学和建筑艺术。

相对论的诞生是另一个辉煌的例子。相对性的公理只有两个:1)相对性原理，任何自然规律对所有直线运动的观测系统都有相同的形式；2)光速不变原理。对于所有的惯性系，光在true 空中以一定的速度传播。爱因斯坦在这两条公理的基础上建立了他的相对论。

4.3数学和音乐

4.3.1气质的基本术语。首先介绍一些基本概念。音乐中固定音高的声音之和称为乐音系统。音乐系统中的音调是按音高顺序排列的，称为音序。在钢琴上，你可以清楚地看到乐音系统中使用的音调和序列。钢琴上有88个不同音高的音调，有些音调在音乐中几乎用不到。乐音系统中的每一个音都称为音阶。有两种尺度:基本尺度和可变尺度。

音乐体系中有七个独立的名称，称为基本音阶。这七个基本声调用英文字母C、D、E、F、G、A、B来标注，称为音名。它们代表一定的音高，在钢琴键盘上的位置是固定的。这七个名字在演唱时依次用do、re、mi、fa、sol、la、si发音，称为点名。如果表示不同的八度，有一组小字，两组小字等。钢琴钥匙孔正中间的一组音的音名是小字。

两个音调之间的音高关系称为音程。七个基本音调在一个圆圈中重复。第一声与第八声同名，但声调高低不同，形成八度关系。这里的度数是指按键之间的间距。比如以C为起点，G是第五个音。

4.3.2古希腊旋律的确定

在西方，从毕达哥拉斯时代开始，人们就认为音乐的研究本质上是数学的，这种思想对后来的岁月产生了深远的影响。莱布尼茨指出:“就其基础而言，音乐是数学的；就其外观而言，是直观的。”法国音乐理论家和作曲家拉莫(J . P . J . P . RaMeau 1683-1764)说:“音乐是一门必须掌握一定规律的科学。这些规律必须从一个明确的原理出发，没有数学的帮助是无法研究的。我必须承认，虽然我在很长一段时间的实践中获得了很多经验，但只有数学能帮助我发展思想，照亮我甚至没有意识到的黑暗之处。”

音乐必须有优美的音调，优美的音调必须是和谐的。希腊人发现最和谐的音调是由1: 2: 3: 4的比例决定的。中世纪美学家奥古斯丁说:“1、2、3、4这四个最小的数字，是音乐中最美的数字。”为什么会这样呢？看了毕达哥拉斯的出生定律，就清楚了。

我们知道，振动的物体作用于周围空气体，产生声波，声波向四面八方传播，到达我们的耳朵，被我们接受。但是大多数声音，像说话或鸟儿歌唱，都不是音乐声音。音乐通常是由琴弦的振动引起的，比如小提琴、大提琴、吉他、钢琴，或者是由空气柱的振动引起的，比如风琴、小号、长笛。

描述音乐声音的最基本的量之一是音高。什么是音高？这个问题看似简单，其实不然。人类花了许多世纪才准确理解音高。这要归功于伽利略和法国数学家和宗教学者梅森(1588-1648)。为了解释音高，我们需要引入频率的概念。

频率是指单位时间内物体振动的次数。通常单位时间以秒为单位，物体每秒振动多少次称为赫兹或赫兹。

例如，如果一根绷紧的弦每秒振动100次，就说它的频率是100赫兹。

毕达哥拉斯连续使用2: 3的比例，找出从C到的每个音。他是怎么做到的？他将两根相同材料的弦水平放置，使它们绷紧，并保持相同的张力。假设一个字符串的长度是1，另一个字符串的长度是前者的2/3，那么两个字符串同时发音。如果前者发出C音，后者发出比前者高五度的G音，再取后者长度的2/3，得到比G音高五度的音，将新弦长度加倍，继续此步骤；你可以设置所有的声音。这种设置声音的方法被称为五度法。

五度相位生成法利用3: 2的频率关系生成一个音调序列，其频率比的公式为

下表是用五度生成法生成的(大调模式)七音阶表。

注:1。哲学意义:“万物有数”的思想渊源之一。

2.数学意义:气质的确定需要指数函数。

简谐振动

音叉的振动。傅立叶是如何让音乐声音的数学分析成为可能的？我们来看看最简单的乐器音叉是如何发声、传播，并用数学公式描述的。

在音叉的一侧放一个小锤子，音叉就会振动，发出声音。当音叉第一次向右移动时，它会撞击阻碍它向右移动的空气体分子，增加那些分子之间的密度。这种现象被称为压缩。被压缩的空气体继续向右移动，直到不拥挤为止，这个过程会一次又一次的重复，所以向右的压缩会继续(图3)。

然后音叉向左移动。这样就在音叉原来的位置留下了一个比较大的地方，右边的空气体分子就往这里冲。因此，在这些空气体分子的先前位置产生了薄的空空间。这种现象叫做松弛。

其实音叉的每一次振动都会产生各个方向的压缩和松弛，这就是声波。空气体受到声波的局部压缩和弛豫，使得空气体周期性地变稀变密。这种声波到达人的耳朵，作用于耳膜，所以我们听到了声音。

现在的问题是，这个声音可以用数学公式来表示吗？如果有，是什么样的配方？

简谐振动。音叉的振动是最简单的周期振动。周期振动很简单，包括单摆的振动和弹簧的振动。它们的共同特点是以相等的时间间隔重复运动。这种振动称为简谐振动。描述这种周期振动的公式具有相同的形式。为了直观起见，我们取弹簧的周期振动作用模型。

顺便说一下，简谐振动的研究不仅为音乐的描述提供了工具，而且导致了精确时钟记录的发明。通过实验，R. Hooker掌握了弹簧振动的基本规律，发现了弹性定律。在20世纪50年代，他试图用金属弹簧调整时钟的频率。然而，第一个由弹簧控制的钟是由丹麦物理学家c .惠更斯建造的。惠氏的方法是使用螺旋弹簧；这种方法现在还用在机器人手表上。

弹簧的振动

考虑一个压缩和拉长的弹簧，将平衡位置作为坐标原点(图4)。根据胡克定律，作用力F与弹簧X的压缩或伸长成正比:

F=-kx (1)

x的值对于伸长是正值，对于压缩是负值。常数b称为弹簧常数，是弹簧刚度的度量。弹簧越硬，k的值越大，附在弹簧上的物体M的质量为M，这个系统的特点是当物体M从平衡位置受到扰动时，系统在弹性的作用下趋于回到平衡位置，但由于惯性的作用，M会继续向平衡点以外移动。m超过平衡点后，弹力再次作用，使其回到平衡点。结果，系统像音叉一样来回振动。物体的水平位置x是时间t的函数:x = x (t)。x (t)的变化规律是什么？让我们做一些数学分析。

我们需要牛顿第二定律。记住，加速度A是位移函数的二阶导数:考虑弹性力公式(1)，我们有

或者

其中，假设，上述等式可以写成

(2)

这是一个含有未知函数导数的方程，叫做微分方程。这个方程的解x(t)的一个重要特点是二阶导数与函数本身的负值成正比。这个功能是什么？猜猜看！

从初等微积分中，我们已经知道正弦函数和余弦函数都有这个特点:

以此为出发点，我们有理由猜测方程(2)的解是正弦函数还是余弦函数。事实上，它的解决方案如下所示:

(c，d:常数)

或者

(3)

如果直接代入(2)进行校核，就知道结果是正确的。

4如果理想空气体分子在音叉作用下运动，振幅为0.001，频率为200 Hz，那么圆频率为200π，那么音叉声的公式为

y=0.001sin400πt

下面是几个名词的解释。

公式(3)中的a称为振幅。它代表弹簧振动的振幅。完成一次振动的时间称为周期，标为T，比如振动一次需要0.5秒，T=0.5秒。如果振动一次需要4秒，T=4秒。

它叫频率，是物体在简谐振动中每秒振动的次数。如前所述，频率的单位是赫兹；每秒振动一次称为1 Hz。频率和周期是相互的:

比如振动一次需要0.5秒，即T=0.5秒，频率f=2 Hz，即每秒振动两次。

叫圆频率，也叫角速率；角度是圆周运动的物体在单位时间内通过的角度(以弧度为单位)。角频率与简谐运动每秒振动的次数密切相关。关系如下:做圆周运动的物体，回到起点时经过2弧度。因为2弧度对应一个周期，所以

4.3.5傅立叶定理

长笛、单簧管、小提琴和钢琴发出不同的声音。我们如何从数学上解释它们？通过观察各种声音的图形，我们可以得到一些问题的答案。所有声音的图形，包括人的声音，都表现出一定的规律性。这种规律性就是每一个声音的图形在一秒钟内准确重复几次。图5是一个例子，就是小提琴的声音的图形。显示重复，声音悦耳。相反，噪声是高度不规则的。图形中一切具有规律性或周期性的声音，不管是怎样产生的，都称为乐音。这样我们就可以通过图形来区分音乐和噪音。

傅立叶定理说，任何周期函数f(t)都可以像(3)一样表示为正弦函数的和，正弦函数的每一项的圆频率都是最低项的圆频率的倍数。如果最低项的圆频率为，则其他项的圆频率为2，3…写出如下数学公式

其中a是常数。这个级数叫做傅立叶级数。

令人惊讶的是，周期函数可以表示为正弦函数的和。

我们知道，任何乐音都是周期函数，所以任何乐音都可以表示为简单正弦函数的和。

小提琴演奏的音乐如图5所示。它的公式基本上是

傅立叶定理的意义是什么？它指出，任何乐音都是像Asin(ωt+ω)这样的各项之和，其中每一项都代表一个频率和振幅都合适的简单声音，比如音叉发出的声音。所以，这个定理说明，每一个声音，无论多么复杂，都是一些简单声音的组合。音乐声音的复杂特征可以通过实验来证实。例5中小提琴的声音可以由三个具有适当音量和频率的音叉同时发出，频率分别为500 Hz、1000 Hz和1500 Hz。所以从理论上来说，贝多芬的第九交响曲是可以用音叉来演奏的。

这是傅立叶定理的惊人应用！

这样，任何复杂的音乐声音都可以由简单的声音恰当地组合而成。声音中的单调被称为泛音。在这些泛音中，频率最低的被称为音高。第二高的频率称为二次泛音，其频率是基频的两倍，其次是三次泛音，其频率是基频的三倍，以此类推。

音乐和噪音的主要区别在于，音乐的声波是随时间周期性变化的，而噪音不是。音乐有固定的频率，让人感受到固定的音高和和谐的感觉。噪音听起来不和谐不好听，缺乏固定音高的感觉。将复杂的音调分解成泛音可以帮助我们用数学方法描述音乐声音的主要特征。

音乐有四个要素:音调或音高、音色或音质、声音或音量以及持续时间。

当我们说一个声音是高还是低时，我们指的是它的音调。钢琴声音按照键盘从左到右的顺序从低音升到高音。音调主要由振动频率决定，即由ω或t决定，但并不严格成正比。一般来说，频率增加一倍，音高听起来就高一个八度。这只在中频段成立。在高音部分，听觉较低。所以要提高频率，以适合人的耳朵。低音听起来很高，所以有必要降低频率。对于一个复杂的音调，它的音高是由基频的频率决定的。在前面小提琴的例子中，这些泛音的频率分别是500 Hz，1000Hz和1500Hz。这意味着，当基音的模式完成一个循环时，第二泛音的模式将完成两个循环，第三泛音将完成三个循环。所以，当且仅当螺距过了1/500秒，复合模式重复一次，空气体分子又会循环运动。所以复调的音高是由音高决定的。

声音的响度或音量与声波振幅的平方成正比。振幅越大，声音越大。但两者不成正比。

公式中的初始相位φ一般人耳是察觉不到的。声音的音色是区别于其他具有相同音高和音量的声音的属性。当小提琴手和风笛手演奏音高和音量相同的歌曲时，我们很容易区分他们。音乐的音色影响图形的形状。不同乐器发出的声音的图形，周期和振幅相同，但形状不同。

音乐图形的形状部分取决于泛音，部分取决于泛音的相对强度。有些乐器的二次泛音的幅度可能很小，对整个数字影响不大。例如，在长笛的高音中，除了音高之外，所有泛音都很弱。

时间值是指振动的持续时间。

现在我们知道，不仅一般乐音的本质，而且它们的结构和主要性质都具有数学特征。

欧几里得用五条公理概括了整个欧几里得几何。再复杂的几何定理，也可以从这五个公理推导出来。牛顿给出了三个定律，从本质上概括了整个力学。这些成就都是开天辟地的成就。傅立叶定理也有同样的地位。自从傅立叶定理出现后，世界上的声音突然变得简单起来，这都可以归结为简单声音的组合。这些简单的声音在数学上被表示为正弦函数。人们终于意识到，世界上的声音是如此丰富，却又如此简单！

自然的统一

大自然充满了神奇的统一。不仅声音可以用正弦函数描述，电流也可以用正弦函数描述。事实上，电流和时间的关系是

I= Asinωt

这与音叉的振动形式相同。正是这种统一性使得声音能够转化为电流。这使得记录、传播、接收和恢复声音成为可能。这样，你就可以坐在电视机旁，欣赏除夕夜维也纳的新年音乐会。你可以边走边通过Walkman接收中央电视台的音乐节目。你可以用手机和朋友聊天。但是很少有人想到傅立叶的贡献和数学的作用——数学是一种无形的文化。考察对人类生活的实际影响，会发现傅立叶的影响超过了牛顿。

参考

张。数学的美与理。北京:北京大学出版社。