2025年数学知识复习：三重积分

科技前沿 • 2025-03-27 10:36 • 阅读 37

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1 直角坐标系中的三重积分

物体体积计算方法 $\iiint_\Omega 1\cdot dv$
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1.1 先定积分再二重积分

设D为Oxy平面上的区域，C是它的边界。

如果空间区域Ω是由区域D上的曲面 $z=z_1(x,y),z=z_2(x,y)\quad [z_1(x,y) \le z_2(x,y)]$ 以及以C为准线&母线，平行于x轴的柱面所围成
函数f(x,y,z)在Ω上连续

则 $\iiint_D ff(x,y,z)dz=\iint_D[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz]dxdy$

1.1.1 举例

计算 $I=\iiint_\Omega(x^2+y^2)dv$ ,Ω是由围成的区域。

$I=\iint_D[\int_{\frac{x^2+y^2}{2}}^2(x^2+y^2)dz]d\sigma$

$=\iint_D[(2-\frac{x^2+y^2}{2})(x^2+y^2)]d\sigma$

使用极坐标变换，有：

$=\int_0^{2\pi}[\int_0^2(2-\frac{r^2}{2})\cdot r^2 \cdot rdr]d\theta$

$=\int_0^{2\pi}[\int_0^2 (2r^3-\frac{1}{2}r^5) rdr]d\theta$

$=\frac{16}{3}\pi$

1.2 先二重积分再定积分

若空间区域Ω介于平面z=a和平面z=b (a<b) 之间，平面 $z=z_0,(z_0 \in [a,b])$ 与Ω相交于平面 $\Omega(z_0)$ ，则 $\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\int_a^b [\iint_{\Omega(z)}f(x,y,z)dxdy]dz$

1.2.1 1.1.1的第二种解法

$I=\int_0^2[\iint_\Omega (x^2+y^2)d\sigma]dz$

$=\int_0^2\{\int_0^{2\pi}[\int_0^{\sqrt{2z}} (r^2)rdr]d\theta\}dz =\frac{16}{3}\pi$

2 柱坐标系

设M为空间中一点，它在Oxy平面上的投影点P的极坐标为(r,θ)，它的z轴坐标为z。

我们称(r,θ,z)为M点的柱坐标。

直角坐标系和著坐标系(r,θ,z)之间的关系为 $\left\{\begin{matrix} x=rcos\theta\\ y=rsin\theta\\ z=z \end{matrix}\right.$

坐标系转换 $\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\iiint_\Omega' f(rcos\theta,rsin\theta,z)rdrd\theta dz$ 其中 $\Omega'=\{(r,\theta,z)|(rcos\theta,rsin\theta,z) \in \Omega\}$

2.1 举例

3 球坐标系

设M为空间中一点，ρ表示点M到原点的距离，θ表示过点M与z轴的半平面与Oxz平面的夹角，φ表示z轴和向量OM的夹角。

$(\rho,\theta,\varphi)$ 是M的球坐标 $(\rho \in [0,+\infty], \theta \in [0,2\pi),\varphi \in [0,\pi])$

所以直角坐标系(x,y,z)和球坐标 $(\rho,\theta,\varphi)$ 的关系为： $\begin{matrix} x=\rho sin\varphi cos\theta\\ y=\rho sin\varphi sin\theta\\ z=\rho cos\varphi \end{matrix}$

采用球坐标计算三重积分，有 $\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\iiint_{\Omega'} f(\rho sin\varphi cos\theta,\rho sin\varphi sin\theta,\rho cor \varphi) \rho^2 sin\varphi d\rho d\theta d\varphi$