阿基里斯悖论(1=0.99999的悖论解决了)

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

小矛盾

是大智慧。

上次讲了芝诺悖论是造成历史上“第一次数学危机”的间接因素。我只简单介绍了芝诺悖论，然后看到有个模特朋友想让超模君详细说说这个内容。

既然你诚心诚意的问了问题，那超模就稍微仁慈一点告诉你。

芝诺悖论实际上是指古希腊数学家芝诺提出的关于运动不可分性的一系列哲学悖论。据说有40多个完全不同的悖论，但现存的只有8个。)

其中，最著名的有以下四个悖论:

1、二分法悖论

在到达目的地之前，一个人必须走完1/2的距离，然后走完总距离的剩余1/2，再走完剩余的1/2…按照这个要求，一个人可以无限地走下去。。。

所以有两种情况:①这个人根本没开始；只要他开始，就永远不会到达终点。(虽然已经接近尾声了)

2.阿基里斯悖论

其实这个悖论指的就是这个有趣的故事——阿喀琉斯和乌龟赛跑。

阿基里斯是古希腊神话中的逃跑英雄。在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟的10倍。乌龟在前面跑100米，他在后面追，但是追不上乌龟。

因为在比赛中，追赶者必须先到达被追赶者的起点。当阿喀琉斯到达100米时，乌龟已经又爬了10米，于是新的起点产生了。

阿喀琉斯只好继续追，追上乌龟已经爬过的10米时，乌龟已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追那1米。。。

这样，乌龟就创造了一个无限的起点。它总能在起点和自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟一直奋力向前爬，阿喀琉斯就永远追不上乌龟！

3.飞箭不动。

“飞箭不动”中的“箭”是指弓箭中的箭。正常的射箭，谁都知道，只要箭离开弦，经过一段空的运动，就能飞出，到达另一个位置。

但是，芝诺认为，如果我们截取“飞箭”的每一个瞬间，它就会在空中“静止”。既然每一刻都是静止的，那么所有在一起的瞬间也应该是静止的。所以“飞箭”是“不动”的。

4.游行悖论

假设在运动场上，在一个瞬间(一个最小时间单位)，队列B和C相对于观众席a分别向右和向左移动一个距离单位。

此时，相对于B，C已经移动了两个距离单位。

芝诺认为，既然队列可以在瞬间移动一个距离单位(一个最小时间单位)或者在半个最小时间单位内移动一个距离单位，那么半个时间单位等于一个时间单位。

因此，无法移动队列。

哮天:所以在他看来，世界是静止的。。。

而且就算锻炼了，还是不锻炼。。。

超模君:其实芝诺悖论只是想说明一个问题:世界在时空上是有限的还是无限的空？

原来，芝诺提出的这些悖论困扰了人们2000多年。虽然大家都知道自己错了，但是他们的推理过程不仅严谨，而且逻辑严密。

(至少当时是这样)，以至于很长一段时间，谁也说不清楚到底错在哪里。。。

亚里士多德这样解释芝诺悖论:

对于第一个和第三个悖论，他认为只要时间也是无限不可分的，那么每个时间点对应空之间的一个点，它就可以跨越无限不可分空的一段时间。

至于第二个悖论，他认为，当追赶者和被追赶者的距离越来越小时，追赶所需的时间也越来越小。无限小的数之和是有限的，所以我们可以在有限的时间内赶上。(然而并不严谨)

关于阿基里斯悖论，阿基米德找到了一种类似于几何级数求和的方法，问题中所需时间呈指数递减。这是一个典型的几何级数，说明阿喀琉斯追上乌龟的总时间是一个有限值。

至此，这个悖论终于得到了一个像样的解释。

随着现代数学的发展，数学家们找到了一些解决芝诺悖论的“手段”，其中最著名的是牛顿和莱布尼茨创立的微积分。

所谓“微分”就是把一个东西无限细分，“积分”就是把细分的部分相加。

微积分中有一个很重要的变量叫做“无穷小量”，用“dx”来表示。它的概念是:无穷大趋于零，但不等于零。

芝诺悖论是错误的，因为芝诺把无穷小量等同于零(完全忽略)。

按照这个思路，无穷小量不断增加积累，结果只能是零，所以“箭不动”。

但是，无穷小真的是无穷大趋于零(不等于零)。这样，无限个“趋近于零”的无穷小量相加累加后，就会有一个确切的值。

通过微积分，我们可以根据给定的距离找到阿喀琉斯追上乌龟的时间。但这个计算是建立在阿喀琉斯已经追上乌龟的假设上的。

那么，阿喀琉斯是怎么追上乌龟的呢？

可惜这在数学上得不到合理的解释。

所以，现在我们转向物理学，人们认为量子力学解决了芝诺悖论。

在量子世界中，时间，空和能量被认为是不连续的。

也就是说，时间和空之间有一个最小单位，叫做普朗克长度。

时间，空是有限的，是可分的，所以阿喀琉斯能追上乌龟，我们就能到达目的地。(哮天:我好像还是不明白)

但是，在这种情况下，我们所做的一切不都像电影吗？只是时间间隔少了几个数量级。(在极度恐惧中思考)

1秒快门，400mm镜头，拍摄伦敦绅士。

芝诺悖论从一开始的数学讨论逐渐演变成一个哲学问题(数学和哲学真的分不开吗？)，也引起了大量哲学家的沉思。

法国哲学家柏格森说:芝诺悖论的全部症结在于用运动轨迹代替运动本身。

许多现代分析哲学家进一步指出，芝诺用数学轨迹代替了物理轨迹，把真正的物理运动引入了关于无穷远的数学迷途。。。

阿尔弗雷德·诺斯·怀特海这样描述芝诺:认识芝诺的人没有一个不想否定他，每个人都认为这样做是值得的。

英国数学家和哲学家伯特兰·罗素(Bertrand Russell)曾评论说:(芝诺悖论)为他(芝诺)从那时到现在创立的几乎所有关于时间、空和无限的理论提供了土壤。

伯特兰·阿瑟·威廉·罗素

正如数学史家f·卡约里(F. Cayori)所说:芝诺悖论的历史，大体上就是连续性、无限性和无穷小等概念的历史。

柏拉图曾经取笑芝诺的聪明，但现在看来，一个小小的悖论就是伟大的智慧。