学习数学的好处()[通俗易懂]

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文|宗传明(天津大学教授)

近年来，随着国家的重视和媒体的宣传，人们已经形成了“数学很重要”的共识。人们已经意识到数学在科学技术的各个分支和环节中都起着重要的作用。

很难想象一个没有数学支撑的天文物理社会会是什么样子，更难想象没有数学支撑的航天技术会是什么样子。

其实，在国家大力提倡原始创新，寻求突破瓶颈的今天，我们应该认识到，数学在现代科技中不仅仅是配角，在一些最关键的科技过程中也起着决定性的作用。

以我们最熟悉的高科技产品智能手机为例。手机是具有通信功能的微型计算机:它的智能是由艾伦·图灵、冯·诺依曼等数学家设计和赋予的，它的通信功能是由克劳德·香农的信息论、诺伯特·维纳的控制论和现代密码学保证的。

而计算机、信息论、控制论、现代密码学的诞生和发展，都是以数学基础为主导的。

计算机的诞生

电子计算机是上个世纪最伟大的发明。它不仅给科技的各个领域带来了翻天覆地的变化，也改善了每个人的日常生活，甚至改变了我们的思维方式，深刻影响了人类文明的未来发展。

从古至今，人们一直在探索和发明高效的计算工具来延伸我们解决问题的能力:3000多年前，人们发明了算盘；400多年前，英国数学家约翰·耐普尔发明了对数，并在此基础上发明了计算尺。1642年，法国数学家布莱士·帕斯卡发明了一台可以加减的算术机器。1671年，德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨制造了一台能做乘法和除法的乘法机。大约在1833年，英国数学家查尔斯·巴贝奇设计并制造了能分别执行算术程序的差分机和分析机。

在电子计算机的早期发展中，许多科学家和工程师做出了杰出的贡献:1930年，美国科学家万尼瓦尔·布什在麻省理工学院建造了最早的模拟器；1936年，英国数学家艾伦·m·图灵在数理逻辑(数学的一个分支)的基础上提出了计算机的理论框架，既肯定了计算机的计算功能，又赋予了它逻辑推理的使命；1940年左右，德国工程师康拉德·楚泽提出了计算机程序控制的概念，并独立制造了一台样机。1945年，美国数学家约翰·冯·诺依曼根据大脑的记忆功能提出了一种带有存储程序的电子计算机程序。

在这些先驱探索的基础上，电子计算机于1945年前后在英美诞生并迅速发展。

艾伦·图灵1912年出生于伦敦。1931年，他考入剑桥大学国王学院学习数学。他深受数学逻辑学家库尔特·哥德尔、阿隆佐·邱奇和戴维·希尔伯特的影响。1936年，他发表了关于数字计算在解决难题中的应用的文章。

本文描述了一种可以辅助数学研究的机器，后来被称为图灵机。这个假设第一次赋予了机器符号逻辑推理的使命，为后来计算机和人工智能的产生和发展奠定了基础。

1938年，图灵在邱琦的指导下获得了普林斯顿大学的数学博士学位。第二次世界大战期间，他被叫到英国情报中心布莱奇利公园，从事破译德国密码的工作。他领导研制了世界上最早的电子计算机，并成功破译了德国密码。战后，图灵一直参与领导曼彻斯特大学电子计算机的研发工作。

1966年，美国计算机协会(ACM)设立了艾伦·图灵奖，以纪念他在计算机科学领域的开创性工作。

阿兰•图灵阿兰图灵

约翰•冯•诺伊曼约翰·冯·诺依曼

冯·诺依曼1903年出生于匈牙利布达佩斯。1926年在Leopold Deffeyes的指导下获得布达佩斯大学数学博士学位。后来去德国哥廷根大学当大数学家希尔伯特的助手，深受其数理逻辑理论的影响。1930年移民美国，先后担任普林斯顿大学数学教授和普林斯顿高等研究院数学教授。

基于数理逻辑理论，他开始研究计算机的构造。1945年，在共同讨论的基础上，他提出了可以存储程序的电子计算机程序，并具体介绍了制造电子计算机和编程的思想。这个方案清楚地确立了计算机由五部分组成:运算单元、控制器、存储器、输入输出设备。

1999年，为了纪念他在计算机科学领域的开创性工作，美国电气和电子工程师协会(IEEE)设立了约翰·冯·诺依曼奖。

在过去的100年里，随着科学技术的飞速发展，电子计算机从最初的电子管数字计算机逐渐发展到晶体管数字计算机、集成电路数字计算机，直到今天的大规模集成电路计算机。操作系统也发生了巨大的变化。但是，无论硬件和软件如何发展，图灵和冯诺依曼的设计思想一直被用在计算机上。

信息论的诞生

自从有了人类活动，人们就不得不面对可靠的信息传递问题:手势、声音、文字、电报、电话、互联网等等。

1837年，英国发明家查尔斯·惠斯通和威廉·库克以及美国发明家塞谬尔·f·摩斯几乎同时发明了电报。1860年和1876年，意大利发明家安东尼奥·穆齐和美国发明家亚历山大·g·贝尔分别制造了电话。1895年，意大利发明家古格里莫·马可尼首次成功地发送和接收了无线电报。

这些新技术为大规模远距离信息传输提供了手段。然而，如何保证准确高效的传输面临着挑战。1924年，贝尔实验室的科学家哈利·奈奎斯特开始研究影响电报传输速度的因素，并首次对信息传输速度进行了定量描述。1928年，同样在贝尔实验室的Ralph V. Hartley进一步定量研究了通信系统传输信息的能力，并试图测量系统的信道容量。

克劳德·香农在奈奎斯特和哈特利工作的基础上，于1948年发表了划时代的论文《通信的数学理论》，从而宣告了信息论的诞生。这篇论文和他在1949年发表的另一篇论文一起，奠定了现代信息论的基础。

香农的工作首先在概率统计和几何空的基础上建立了通信过程的数学模型，并通过数学模型推导出了一些最重要的定量原理(信息论的三个定理)。这些模型和原理不仅指导了信息论的理论研究，而且保障了通信工程技术的各个环节。

克劳德·香农1916年出生于密歇根州。1940年在弗兰克·l·希区柯克的指导下获得麻省理工学院数学博士学位。

1941年加入贝尔实验室数学系，一直工作到1972年。

自1956年以来，他一直是麻省理工学院的教授，并于1978年成为名誉教授。1972年，为了纪念他对信息论的基础性贡献，IEEE信息论研究所设立了克劳德·香农奖。

近一个世纪过去了，随着计算机技术的飞速发展，通过手机和互联网，信息交流已经成为每个人日常生活的一部分。

在这个发展过程中，组合数学、图论、数论等数学学科多次发挥了极其关键的作用，如纠错码、极化码等，许多著名数学家也做出了杰出的贡献。

控制论的诞生

控制论的诞生也是20世纪最伟大的科学成就之一。控制论是数学、计算机技术、无线电通信、神经生理学、语言等学科交叉的产物。

它以各种系统共有的通信和控制的特性为对象，研究它们根据周围环境的一些变化来调整自己运动的规律。

自动控制的想法由来已久。1760年左右，詹姆斯·瓦特在他的蒸汽机上安装了调速器，自动调节蒸汽机的运行速度。

1858年，阿尔弗雷德·r·华莱士研究并解释了它。

1868年，著名物理学家和数学家詹姆斯·麦克斯韦(James C. Maxwell)对自动调速器进行了研究，首次从理论上对这种自调装置进行了探讨。

1927年，贝尔实验室的工程师哈罗德·s·布莱克开始探索利用负反馈的信息控制放大器。

1932年，奈奎斯特发现了负反馈放大器的稳定条件。

1943年，阿图罗的阿图罗·罗森布鲁斯(Arturo Rosenblueth)、诺伯特·维纳和朱利安·毕格罗(Julian Bigelow)用数学模型研究了反馈信息的控制问题。

1945年，维纳将反馈的概念扩展到一般控制系统，将反馈理解为从被控对象的输出中提取一些信息作为下一个输入，从而影响再输出的过程。

1948年，诺伯特·维纳发表了著名的《控制论——动物和机器中的控制与通讯科学》，这标志着控制论作为一门学科的诞生。维纳控制论被认为是一门研究机器和生命社会中控制和通讯的一般规律的科学。

更具体地说，它是一门研究动态系统在不断变化的环境条件下如何保持平衡状态或稳定状态的科学。

控制的基础是信息，一切信息传递都是为了控制，任何控制都依赖于信息反馈。以微分方程、最优化、概率统计和模糊数学为基础，建立数学模型进行定量研究。

诺伯特•维纳连续九天的祷告

诺伯特·维纳于1894年出生在美国密苏里州。1913年在卡尔·施密特和约西亚·罗伊斯的指导下获得哈佛大学数学博士学位。后来先后就读于英国剑桥大学和德国哥廷根大学，师从著名数学家伯特兰·a·w·罗素、戈弗雷·h·哈代、希尔伯特等研究数学。

从那以后，他一直在麻省理工学院教书。1935年8月至1936年5月，他在清华大学教授数学，这对华有很大的影响和帮助。1967年，为了纪念他对控制论的重大贡献，美国工业和应用数学学会(SIAM)设立了诺伯特·维纳奖。

自维纳创立控制论以来，杰出的数学家如冯·诺依曼、列夫·s·庞特里亚金和贾奎斯·廉斯进一步发展和完善了这一理论。

如今，控制论已广泛应用于航空空航天、机器人系统、人工智能等高科技行业。事实上，如果没有科学的控制理论，就没有今天的航天成就。

数学奠定现代密码学的基础

1969年，互联网在美国西部诞生。这些计算机网络通过一组通用协议连接起来，形成一个逻辑上统一的计算机系统。利用互联网可以将信息即时发送到几千公里以外，这是信息社会的基础。

随着信息时代的到来，信息安全已经成为一个突出的问题。在军事通信中，敌方总想截获并破译对方的通信指令。二战期间，密码曾经是一些战争的决定性因素，比如西西里登陆、阿拉曼战役、中途岛海战和击落山本五十六将军的飞机。在普通的交流中，从高级别的黑客到低级别的诈骗犯，每个人都想窃取别人的信息。因此，现代密码学应运而生。

1976年，美国密码学家Whitfield Diffie和Martin E. Hellman提出了公钥密码系统的思想。

这种体制不同于传统的密码体制，要求密钥成对出现，一个是加密密钥(公钥)，一个是解密密钥(私钥)，私钥不能从公钥推导出来。这样，即使窃密者知道加密密钥，也很难激活成功教程密码。

由于这个革命性的方案，狄飞和赫尔曼获得了2015年图灵奖。

赫尔曼和迪菲还有赫尔曼·达菲。

李维斯特, 沙米尔和阿德曼李·韦斯特，查米尔和阿德曼

1977年，麻省理工学院的三位数学家罗纳德·L·李维斯特、阿迪·萨莫尔和伦纳德·M·阿德曼基于数学中的大整数分解问题首次实现了这一思想，并提出了RSA加密方案。

早在古希腊，欧几里德就已经证明了每一个正整数都可以唯一地分解为素数的乘积。但是，当整数很大时，如何找到具体的分解方法是一个非常困难的数学问题。

由于这个问题的复杂性，保证了RSA密码系统的安全性。由于这个方案，李·韦斯特、查米尔和阿德曼获得了2002年的图灵奖。

自1976年以来，数学家和密码学家基于基础数学中的难题建立了许多密码系统。比如基于离散对数的加密系统，基于椭圆曲线的加密系统等等。这些密码系统的应用极大地促进了信息科学和产业的发展，为网络时代的信息安全提供了保障。从此，原本被认为无用的基础数学直接进入了高科技的核心领域。

数学护航量子科技

过去30年，量子科学技术发展迅速。虽然还处于实验探索阶段，但量子计算机已经被广泛认为是下一次技术革命的引擎。

在量子计算机时代，计算机的智能和运算速度将大大提高。这将给许多科学问题的解决带来希望和曙光。

1994年，贝尔实验室的数学家Peter Shor提出了量子算法，并将其应用于密码学。

他的工作表明，在量子计算机时代，基于整数分解的公钥密码系统将被打破。

换句话说，RSA密码系统在量子攻击下将不再安全。绍尔1985年获得麻省理工学院数学博士学位，是世界著名的当代数学家。

在Sauer开创性工作的基础上，进一步证明了在量子计算机时代，很多广泛使用的密码系统，比如基于离散对数和椭圆曲线的密码系统，都会被激活成功教程。量子科学给当前实用的密码系统带来了严峻的挑战和危机。

彼得•绍尔彼得索尔

早在1840年，伟大的数学家卡尔·弗里德里希·高斯就提出了格的概念。

近两百年过去了，在众多数学家的努力下，格论已经发展成为数学的一个重要分支。

1996年，美国数学家Miklós Ajtai基于格理论构建了一个密码系统。杰特1976年获得匈牙利布达佩斯大学数学博士学位，1991年起在美国IBM研究所工作。

20多年过去了，到目前为止，人们还没有找到一种量子算法来突破这个密码系统。

密码学家普遍认为格密码系统可以抵抗量子算法的攻击。与此同时，人们也在不断探索新的抗量子攻击的密码系统，为量子时代的技术保驾护航。

科学的发展是无止境的。因此，我们必须认识到科技创新的源泉，布局人才，努力抓住机遇。

在过去的一个世纪里，数学已经证明了它在科技革命中不可替代的智能作用。在未来的科技革命中，数学当然不会缺席。