怎么做正方体(最简单的长方体怎么折)

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数学家在研究一个问题时会得到意想不到的结果。在很多情况下，这种“副产品”的价值往往超过原工作本身。

16世纪，意大利数学家卡尔达诺(1501-1576)和邦贝利(1526-1572)在解三次方程时，遇到了“整数可以用含有√-1的公式表示”的矛盾，于是复数就产生了。

17世纪，牛顿(1643-1727年)发现了广义的“二项式定理”，无意中将其应用于级数展开和无穷分析，直接导致了他的另一项著名成果——“流数法”的发现，被称为微积分。

牛顿牛顿

18世纪，数学家们对欧几里得《几何原本》中的“第五公设”保持着疯狂的研究，不断地证明和推翻它，最终导致了19世纪“非欧几何”的诞生。

在古希腊，著名的“三大画法”之一“双立方”问题的解决，导致了抛物线、双曲线、椭圆三条重要曲线的发现。

“倍立方”问题：

能否用直尺画出立方体的边长，使立方体的体积是给定立方体的两倍？

“倍立方”问题“双立方”问题

俄罗斯岛希俄斯的希波克拉底(公元前470年-公元前410年)对“化圆为方”和“将正方体加倍”等问题都有深入的研究。在前者中，希波克拉底发现了新月定理。

月牙定理新月定理

在后者中，希波克拉底将“多重立方”的问题转化为:求满足连续比公式a/x=x/y=y/2a的曲线。其中A是已知的立方体边长，X是期望的立方体边长。

作为勇敢的先驱，希波克拉底在解决“双三次”问题上的努力，为“二次曲线”的发现指明了方向。他的后继者只要按照指示，稍加努力，就能从这个希望之岛发现无穷的宝藏。亚历山大大帝的老师米奈克穆斯(约公元前380-320年)是第一个具有高超洞察力并有资格继承希波克拉底研究的人。

一、圆锥曲线的第一个定义

在希波克拉底研究的基础上，希波克拉底利用垂直于母线的平面截锥得到了三条圆锥曲线:当锥顶∠BAC为直角时为抛物线，当锥顶∠C’BC为钝角时为双曲线，当锥顶∠B’CB为锐角时为椭圆。

这里把抛物线放在第一位，因为人们最早发现并深入研究的不是椭圆，而是抛物线。希波克拉底在获得抛物线的同时，还发现在“坐标”的基础上，其表达式可以表示为:x ^ 2 = my。进而作出两个抛物线:x 2 = ay，y 2 = 2ax。交点P(x，y)的横坐标x满足x 3 = 2 * a 3。

边长为x的立方体的体积是边长为a的立方体的两倍，“双立方”问题解决了吗？如果不考虑尺子画的话，可以。可惜这里用的是曲线。虽然得到了X的解，但是问题并没有太大的进展，因为这种方法已经超出了“尺子作图”的范畴。事实上，后来证明了“双立方”不是尺子能做出来的。

显然，希波克拉底也无法解决“双三次”问题，但对于数学的意义来说，其研究的“副产品”——圆锥曲线给数学增添了更多的活力。在此基础上，同世纪的阿基米德发明了“聚光镜”成功击退敌人，求抛物线下的面积为17世纪微积分的发现提供了很好的启发。上述牛人的开拓创新固然重要，但对圆锥曲线研究最透彻的还是下面这位几何大师。

二、圆锥曲线的圆锥曲线的定义

如果非要给古希腊数学家排名，我觉得前三名会是阿基米德、欧几里德和阿波罗尼斯。阿基米德(公元前287年-公元前212年)以《论球面和柱面》等著名的数学著作跻身古今顶尖数学家之列，对纯数学和应用数学产生了10余本的巨大影响。欧几里德(公元前450- 374年)以他的演绎几何巨著《几何原本》大出风头。

最后一位是阿波罗尼奥斯(约公元前262 ~ 190)，他以八卷本的圆锥曲线理论将古希腊数学推向了顶峰。阿波罗尼奥斯工作的要点是继承和推广希波克拉底等希腊数学家对圆锥曲线的研究，使之趋于完善和统一。

Diagram from Apollonius’ Conics, in a 9th-century图来自阿波罗尼奥斯的圆锥曲线，在9世纪

在定义上，阿波罗尼奥斯使用了两个顶点相同的圆锥，平面在不同方向的截锥，还得到了希波克拉底发现的三种曲线:

取曲线上任意一点，纵坐标上的平方等于横坐标和路径形成的矩形，曲线为抛物线。大一点的时候就是双曲线。小一点的时候就是省略号。

这里使用“坐标”这个词并不是阿波罗尼奥斯的本意，但他脑子里确实有坐标这个概念。用现代的符号，相当于说当y 2 = m * x时，是抛物线；y^2&gt；M*x是双曲线；y^2&lt；当m*x是椭圆、等于、大于或小于时，阿波罗尼奥斯对圆锥曲线的重命名也很有讲究。比如抛物线在这里的意思是“符合”，而双曲线和省略号可以分别引申为“超过”和“缺乏”，与上述定义不谋而合。

要知道，数学家处理问题的方式，不仅认真，而且还很有讲究。

阿波罗尼奥斯给出了圆锥曲线的新结构、定义和命名后，不仅首次发现了双曲线存在两个分支，而且讨论了圆锥曲线几乎所有的性质，使得后人无从涉足。而且目前高中生所学的圆锥曲线的几何内容几乎都来自圆锥曲线理论。下面给大家举个简单的例子。

现在教科书上常用的椭圆/双曲线的第一个定义；”到两个固定点[焦点]的距离之和(差)为固定值的点集是椭圆(双曲线).”(当然，在定义中，椭圆要求大于焦距的定值，双曲线要求小于焦距的定值。它最早以定理的形式出现在圆锥曲线理论中——椭圆/双曲线的焦半径之和/差等于长轴长度【焦半径是椭圆上点到焦点的距离】。

但是和其他著名的数学一样，圆锥曲线理论也有一些遗憾。比如，书中只是以上述形式间接展示了椭圆和双曲线的“焦点”。至于抛物线，由于没有“准线”的定义和研究，其重要定义“到一个定点[焦点]的距离等于到一条直线[准线]的距离的点集”并没有出现在书中。对此，数学史家有两种完全不同的看法:一种是“焦点、对准”这些概念被省略了，另一种是在阿波罗尼奥斯的其他著作中已经明确表达过，在圆锥曲线论中无需赘述。

无论如何，这都是圆锥曲线理论中无法治愈的痛。为此，公元3世纪帕普斯的帕普斯开出了一剂良药——在《数学汇编》中，他增加了圆锥曲线的如下性质:与固定点(焦点)的距离相比，与固定线(直线)的距离是一个常值(偏心率)，这被归功于欧几里得。

到目前为止，圆锥曲线理论暂时达到了完美的状态。此后的一千多年里，除了在11世纪被海亚姆(1048-1131)用来求三次方程的根，圆锥曲线的研究没有新的重要进展，圆锥曲线沉寂了。

海亚姆（Omor Khayyam，1048-1131年）海亚姆(奥莫·海亚姆，1048-1131)

第三，圆锥曲线在实际应用中重生。

直到16世纪，天文学、力学、光学的重要应用，使得圆锥曲线在浴火重生。

1609年，德国著名数学家开普勒(1571-1630)在《新天文学》中发表了他的行星运动定律“轨道定理”——每一颗行星都沿着自己的椭圆轨道绕太阳运行，太阳在椭圆的一个焦点上。然后，伽利莱(1564-1642)得出结论，轨迹是抛物线。

行星运行轨迹——椭圆行星的轨道-椭圆

17世纪望远镜的发明，尤其是1672年卡塞格林的望远镜(结合了双曲线和抛物线的光学性质)，使得科学更加离不开“圆锥曲线”。

卡塞格林望远镜卡·塞格林望远镜

原理原则

这三个重要的应用，再加上古希腊众所周知的“聚光器”的作用，大大增强了人们研究圆锥曲线的好奇心。圆锥曲线研究再次起航。

与此同时，1579年，蒙蒂(1545 ~ 1607)抛弃了古希腊人的定义方法(横截面定义)，用到两个焦点的距离之和定义椭圆为定长动点的轨迹。这是我们现行教科书中常用的结论，后来被法国数学家赫皮塔尔(1661-1704)引入《圆锥曲线分析》一书。但是除了引入圆锥曲线的概念，并没有引入更新颖的思想。

洛必达（Hôpital,，1661-1704）洛必达(医院，1661-1704年)

到了17世纪，情况就不一样了。法国数学家笛卡尔(1596-1650)在研究尺规作图和帕普斯问题时，将“几何”与“代数”融为一体。费马(1601-1665)以平面和立体轨迹的介绍开始了他们的“解析几何”之旅。

费马（Fermat，1601-1665年）费马(1601-1665年)

这是一次新的革命，也是圆锥曲线的新起点。至此，“圆锥曲线”的研究不再完全依赖于几何方法。只要建立一个直角坐标系，给出一个x，y的二次方程，就可以知道对应的曲线是椭圆、双曲线还是抛物线，甚至它们的所有性质都变得简单了。

到了18、19世纪，对“圆锥曲线”的性质不再有研究，但至少有一个发现例外。法国数学家丹德林(1794-1847)以更直观的方式给出了“椭圆”的定义:将一个分划的内接球面插入一个圆锥体，得到一个椭圆，球面与切面的切点为焦点。

自然界几乎没有什么新发现，但18世纪以后，“圆锥”的应用超出了人们的想象:电影放映机的聚光灯、高压疝气灯的聚光镜、摄影用的“双叶旋转双曲面”、手电筒、探照灯、卫星发射天线…这些都超出了人们的想象，尤其是古希腊先贤的想象，“圆锥曲线”正在不断拓宽我们的视野。你认为圆锥曲线将带给我们的下一个惊喜是什么？

数学，改变了我们的生活，让我们一起为伟大的数学家们致敬。