正整数包括哪些(5到50的正整数是什么意思)[通俗易懂]

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自然数在世界上很容易得到，但单靠自然数不足以应付复杂的日常生活。有的人有钱，有的人没钱，有的人不仅没钱还欠钱，假设都是整钱。钱用自然数表示，没钱用0表示，那么欠的钱呢？欠款以负数表示。什么是负数，它从何而来？和自然数相比，负数不是自然数，是新的数，对应一种新的运算，就是减法。基于加法，我们这样定义减法:

若x=z-y = z，则x+y=z-y .减法是加法的逆运算，称为加减变形公理。

注意，减法在定义时并不局限于已知数，而是认为对任何可能的数都有效，没有限制，包括0、∞和自然数，以及后面要讨论的有理数、无理数和实数；也没有规定只能减大数，不能减小数。很重要的一点是，没有法律禁止自由，一定不能做束缚数学的傻事。正如康托尔所说，数学的本质在于自由。束缚数学，结果就是束缚人类。

据此，设x=0-n = 0，则有x+n=0-n，其中n可以是任何可能的数。目前只有0、∞和自然数。由于自然数和∞都大于0，可想而知0-n得到的数X肯定不同于所有的原数。这时，我们有意无意地忽略0和∞，把0-n记为-n，即0-n =-n，其中n是自然数，给这样的数起个名字叫负数，这是引入减法后的必然结果。在所有的算术运算中，用负数，准确的说是负整数，前面的自然数，放在更大的范围内，就不叫自然数，叫正整数。0既不是正整数，也不是负整数。正整数、负整数和0统称为整数。这是一个已经被奉为常识的说法，所有小学生都懂，但这个说法是否准确还可以再讨论。

定义和公理是一切数学的起点，自然也是我们思考和讨论各种数学问题的出发点。那么，严格按照负数的定义，负数就是加到某个数上作为0的数，或者负数是0减去一个已知数的结果，0减去自然数N得到-N，同理，0减去0得到-0，0减去∞得到-∞。-0和-∞都严格遵循负数的定义，是铁证数字。如果对∞是否是一个数有疑问，就不要管它了。如果0是一个数字，那是毫无疑问的。然后在0上加一个负号，它满足:0-0 =-0，0+(-0) = 0，-0 = 0。所以，“-0”作为运算符号，称之为数字是合适的。

接下来，所有这些数字按照符号分别排列，为了突出重点，暂时不考虑∞和-∞:

0、1、2、3 、…
-0 、-1 、-2 、-3、…

这个时候我们还能不能把0单独拿出来，说整数分为正整数、负整数和0？有一个负零。如果认真考虑的话，负号一定是归属于负整数的，那么相对于它的正零(0写全了应该是+0)归属于哪里呢？当然是正整数。所以关于整数的准确说法应该是，整数分为正整数和负整数。正整数包括{0，1，2，3，…}，负整数包括{-0，-1，-2，-3，…}。前面的说法无疑是完全忽略了-0的存在，加上-0 = 0，导致我们在实际操作中几乎注意不到它的存在。有无它的操作结果基本不受影响。既然不受影响，那我们就不能忽视它。但是，要想完整深入地解决数，就是不能忽视它的存在。而且疏忽的后果极其严重，这是意料之外的。

如果你对此摇头，说明你无法理解，多半是因为你还没有真正理解什么是负数，你也从来没有想过-0从负数的定义上来说也是一个严肃的数。虽然-0 = 0，但相等并不意味着两个数必须完全相同，即使是一个数。否则用等号只能有x = x，不能有x = y的表达式，总之面对负零，要做一个复习。有这么大的数字隐藏在众目睽睽之下。怎么会没人发现呢？

有了减法，我们可以进一步理解大于、小于和等于。根据
同余公理，x = x
0加公理，0+x = x
和减法的定义，可以得到x-x-x=0。那么
如果x = y，则有
同理，如果1 > 0，则1-0，不能等于0，不能小于0，只能大于0，即1-0 > 0。
那么，如果x > y，就有x-y > 0，反之亦然。如果x-y > 0，就有x > y，如果x-y < 0，就有x < y。

判断两个数的大小，常用的算术方法是看两个数之差是否为0，5-3 > 0，表示5大于3；反之，3-5 < 0，说明3小于5；3-3 = 0，两个3相等。所以谁大谁小，0还是-0？因为-0的定义是0-0，所以0减0只能是0，也就是-0 = 0。从而找到数的大小与算术运算的对应关系。

既然0-0 = 0，那么∞ -∞ =？，这个问题有点烧脑。根据∞加公理的定义，∞+x =∞，减法得到∞+x=∞ = x。这和0加公理得到的x-x = 0有矛盾吗？一个数减去自身能不等于0吗？一个数可以和自己比，不相等吗？答案并不矛盾，但是有这样一个数字，你不能简单的拿自己和自己比。比较结果是X，表示可以相等也可以不相等。这个数是∞。

∞和普通数的根本区别可以这样理解:对任意普通数A，A-A = 0，A-A ≡ 0，A减A等于0，A减A总等于0；但是对于∞，∞-∞= 0，以及∞-∞！≡0(非常数等于的符号应该用≡加斜杠/表示，但是”！≦“为输入方便，先用)，∞-负∞等于0，负∞不一定等于0，因为∞-∞-∞=x，x可以是任意数。

整数是自然数在减法基础上的延伸，从正方向延伸到负方向，相当于把整个自然数复制过来，放在反方向。按照常理，此刻整数的个数应该是自然数的两倍，但是无穷个自然数的个数翻倍成无穷个整数，还是无穷个，∞× 2 = ∞，没有变化。在无限的层面上，数量的增加是没有意义的。其实根据∞-∞-∞=x，说整数和自然数一样多是没问题的，也就是∞-∞= 0；说整数比自然数无限多没问题，也就是∞-∞=∞；甚至说整数无限小于自然数也是对的，即∞-∞=-∞。——怎么说都行，不是鬼吗？！对于无限数量的对象，用数字的大小来比较对象的数量没有多大价值。康托尔曾经纠结于这个问题。经过深思熟虑，他提出用相应的方法重新定义无限物体的数量，从而创立了集合论和超穷数论。他是怎么做到的？

知道了数字是发明出来的，最直接的用途就是计数，也就是通常所说的计数。孩子数数基本都是从数数开始的。要统计，首先要明确要统计的对象，要统计谁？对于你身边的人，手指脚趾，或者篮子里的鸡蛋，这就涉及到收藏的概念了。什么是收藏？集合回答的问题是:“对象是什么？”这个问题的回答旨在明确计数对象。收藏的作用相当于在我们的脑海里画了一个圈，把所有涉及思考或讨论的对象都放进这个圈里，给这个圈命名，比如A或b，一提到这个名字，我们都知道这个词指的是哪些对象。也就是说，集合是包含某些对象的整个集合，组成集合的对象称为元素。集合的概念极大地节省了人们的认知和交流成本，其提出者康托尔可以说是功不可没。

有了一套，如果只考虑一套，就没有问题了。当面对两套时，问题就出现了。哪个集合的元素多，哪个集合的元素少？元素数量多，元素数量少。如何比较两套的尺寸？我们知道，数字是用来校准数字和比较大小的。如果没有数字，或者有数字，或者知道有数字却不使用，怎么比较它们的大小？这时候就要用“1对1”的方法了。

据说在著名的荷马史诗中，有一个关于盲人牧羊人的故事:独眼巨人波吕斐摩斯被奥德修斯弄瞎了眼睛，成了一个双目失明的巨人。瞎眼的巨人是瞎的，但他的心不是瞎的。每天，他都坐在山脚下照顾他的羊群。早上，羊群出去吃草。每次一出来，他就摸索一块石头放在身边。晚上，当羊回到洞穴时，每次他们进去，他都扔掉一块石头。当早上捡起的石头被扔掉时，他确信羊群中的所有羊都回到了洞穴。显然，故事中的盲人巨人不必知道羊群中有多少只羊，他捡起的那堆石头中有多少块石头。他只需要把羊群里的羊和石头堆里的石头“一一对应”，一只羊对应一块石头，一只羊对应一块石头。之后，结果自然就清楚了。石头剩了，羊就少了；如果还有羊剩下，就说明可能会生小羊；如果没有剩下羊和石头，只是一比一，那么就有两个之多。盲巨人在用“1对1”的方法比较两套的大小，整个过程不涉及计数，所以即使巨人是盲人，加上计数盲，照顾好羊群也没问题。

所谓“一一对应”，就是把A和B的任意两个集合放在一起，使它们在同一个time 空，然后把A和B中的元素一一映射。因为A中的元素是无序的，B中的元素也是无序的，所以当A和B对应时，不需要特定元素匹配特定元素。比如A中的a1只能和B中的b1相对，也可以和b2相对。一旦选定，就不能再与B中的其他元素对立，只有三种可能的结果:A > B，即B中的元素完了，A中有剩余，剩余不考虑；A < B，即A中的元素用完了，B中还有剩余，不考虑剩余；A = B，即A和B中的元素一一对应，没有剩余。“一一对应”的结果大致可以分为两种:一一对应和非一一对应。有时为了强调结果的一一对应，“一一对应”法也叫“一一对应”。

计数是指将物体与数字以“一一对应”的方式联系起来，在知道物体是什么后，回答“有多少”的问题。此时的“1对1”不再是未知对未知，无序对无序，而是未知对已知，无序对有序。这个已知有序的集合就是一把刻度尺，可以用来度量未知的集合，让未知成为已知。计数就是把一组数字作为“1对1”的一面来衡量另一面。常用的有自然数集、有理数集、实数集。对于简单计数，优选自然数集n = {1，2，3，…}。

现在让我们用自然数来代替盲人巨人手里的石头，来数一数他的羊群里有多少只羊。因为自然数集合中的元素是有顺序的，1 < 2 < 3 < 4 < 5 < …，那么当我们把羊群中的羊和自然数集合中的数配对时，也要按照这个顺序，第一个羊对1，另一个羊对2，另一个羊对3，…当最后一只羊从洞里出来时，如果是10只，说明羊群里有10只。

整个计数过程，从1数到10，依次取自然数集合中的元素，对应自然数的生成和累加过程，即连续加1。我们可以用计算机编程语言来描述这个过程。设计数结果为R，R的初始值为0。每次映射都执行一次R = r=r+1(这里，“=”是计算机编程语言中的赋值符号，意思是把右边的值赋给左边的变量，而不是算术中的“=”表示左右相等)。扩展此流程:

显然，计数本质上是将集合中的元素映射到数和数的运算，最后得到一个数，这个数就是集合中元素的个数，也就是集合的大小。另一方面，简单映射只是将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。这两套没有本质区别:

将羊映射到石头。

这幅图描绘了盲人巨人在早上将羊群映射到一堆石头上的过程。从羊群到石头堆，从一个集合到另一个集合，都没有涉及到数字，所以映射的结果是，盲巨人不知道羊群里有多少只羊，也不知道石头堆里有多少块石头。他手里只有一份鸥群的拷贝。这个副本和真鸥群相比，除了数量相等，还有一个很大的优势。绵羊会

晚上羊回到洞里，盲巨人需要将此时的羊与早上羊的副本，也就是石堆进行对比，看羊是否在跑来跑去。这就涉及到如何比较两套的大小了。把羊映射到石头早上，盲巨人在捡石头，放出一只羊去捡一块石头，最后得到一堆石头。现在把这堆石头进一步抽象为集合N，把傍晚的羊群抽象为集合M，然后比较M和N的大小。

虽然盲巨人不会数数，但是只要有最基本的有无概念就很容易做到。他可以把M和N两组放在一起，一只手拿M的元素，另一只手拿N的元素，一次拿一个元素，两只手同时拿，这样两组中的元素同时减少，一次少一个。只要M和N都有元素，盲巨人就一直取，不管取多少次都可以，直到至少有一个集合没有元素。如果m中有元素，n中没有元素，可以得出m > n。

同时，让两组中的元素等量减少。谁先减小到零，谁就更小，减小到零，谁就一样大。这是比较两组大小最原始最简单的方法。只有知道有无，才能判断两套的大小。这个方法最大程度的避免了对对数的认知，真的很巧妙。对于我们来说，这个方法有一个经典的应用，就是老师上课点名:一个班50个学生。在满勤的例子中，教室里只有50个座位，学生和座位是一对一的。如果有缺席，老师会知道有没有空的座位，而不是一个一个数。可见其在特定场景下的效率极高。

对于这个巧妙的方法，我们可以再抽象一下，抽象为一个算法过程，有输入有输出:
第一步输入两个数字M和N，M和N都是大于0的自然数；
第二步，将m和n分别减1，得到新的m和n，即m = m=m-1，n = n-1；
第三步，比较m、n和0的大小，如果m和n都大于0，则返回第二步，如果m或n等于0，则进入下一步；
第四步，如果m > 0，n = 0，输出m > n；如果m = 0，n > 0，输出m < n；如果m = 0且n = 0，则输出m = n。

不难看出，这个算法的核心是M = m=m-1，或者写成R = R-1，与前面的R = R+1刚好相反。前者是加法过程，后者是减法过程。如果R = R+1叫做计数，那么R = R-1就是逆计数。

无论是计数还是反计数，“计数”的过程就是映射的过程，“计数”就是映射到数字的过程。没有数字，就没有计数。这是一个无需解释的简单道理。盲人巨人不知道怎么数数。他把羊群映射到石头上，并通过石头管理羊群的数量。虽然方便可行，但不叫计数，是纯制图。羊群的数量不能用羊群本身来解释，也不能用石头来解释。石头本身的数量还是需要统计才能解释。用集合代替羊群和石头，是指一个集合中元素的个数不能用它本身来解释，也不能用另一个集合来解释，只能用数字来解释。不，仅仅通过映射，从一个集合跳到另一个集合是没有用的。我们永远不会知道一个集合中元素的数量。

这里需要理解的是，数字是抽象的。集合也是抽象的，但是相对于数字，集合还是具体的。我们知道一个集合是由元素决定的，有什么样的元素就会有什么样的集合。一旦元素被确定，它所属的集合也将被确定。一旦确定了一个元素，就确定了元素的数量，也就确定了集合的大小。不管是一群羊，一堆石头，还是一个抽象的集合M，集合一旦确定，集合中固有的一个数就确定了，集合中的所有元素都是那个数的例子。数字是抽象的，它们的实例是具体的，不能等同于数字本身。数字既不是实例，也不是集合，虽然数字可以构成集合。

搞清楚数字是什么可能不容易。我们从小第一次接触数字的时候，经常被告知1是一个苹果，2是两个苹果，一个苹果是1，两个苹果是2。这个时候我们对对数的认知可以概括为:数是对象，对象是数，数与具体的对象没有区别。再后来，我们知道1不仅仅是一个苹果，而是一个人，一个橡皮擦，一只蚂蚁，一片树叶，一分钟，一小时，这些都是1所能代表的所有这些物体的共同属性。数字不同于具体的物体。最后我们会认识到，数字是一个可以运算的符号，它只存在于数字的运算中，与物体无关。这是人们对对数的认知，从具体到抽象，要经历的三个阶段:

1、数是对象，对象是数；
2。数字是各种物体的共同属性；
3。数字是可以运算的符号。

对于一个接受现代教育的人来说，小学毕业应该达到第三阶段的认知水平。所以我们站在今天，回首150年，看看康托尔和康托尔生活的时代。他们的对数认知水平如何？可想而知，以康托尔为代表的知识精英对于普通数字的认知大概可以达到第三阶段的认知水平。但是对于无穷大来说，还是处于第一阶段，或者说0阶段。从亚里士多德开始，人们对无穷的讨论就建立在一个特定的过程之上。这个具体的过程只能是一个潜在的无法完成的无限过程，而不可能是一个真正的可以完成的无限过程。都是在讨论物体，不是数字，无穷大不是数字，这还是普遍共识。康托尔是第一个把无穷大作为一个数来研究和讨论的人。为此他创造的方法是集合论，他得到的结果是超穷数论。