数学二考研大纲(考研数学二的考试范围)

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考试科目:高等数学，线性代数

考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间

试卷满分150分，考试时间180分钟。

二、答题方法

答题方式为闭卷和笔试。

三、试卷的内容结构

大约80%的高等教育

线性代数占20%左右

四、试题结构

选择题10小题，每小题5分，共50分。

填写空问题6，每项5分，共30分。

答题(含证明题)7个子题，共70分。

高等数学

一、函数、极限和连续性

函数的概念与表达，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，基本初等函数及其图形的性质，初等函数函数关系的建立。

数列极限和函数极限的定义和性质，函数的左极限和右极限，无穷小和无穷小的概念和关系，无穷小的性质和比较，极限的四则运算，极限存在的两个判据:单调有界判据和pinching判据，两个重要的极限:

函数连续性的概念，函数不连续性的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

考试要求

1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，建立应用问题的函数关系。

2.理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3.了解复合函数与分段函数，反函数与隐函数的概念，基本初等函数的性质与图形，初等函数，极限，函数的左右极限，函数极限的存在性与左右极限的关系。

4.掌握极限的性质和四种算法。

5.掌握极限存在的两个规律，并利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

6.理解无穷小量和无穷小量的概念，掌握无穷小量的比较方法，利用等价无穷小量求极限。

7.理解函数连续(包括左连续和右连续)的概念，会识别函数的不连续点的类型。

8.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值定理、中值定理)，并应用这些性质。

二、一元函数的微分学

导数与微分的概念，导数的几何物理意义，导数与函数连续性的关系，平面曲线的切线与法线，导数与微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数，反函数，隐函数以及由参数方程确定的函数的微分方法，高阶导数，一阶微分形式的不变性，微分中值定理的洛必达定律，函数单调性的判别，函数的极值，函数的图形。

考试要求

1.了解导数和微分的概念，导数和微分的关系，导数的几何意义，平面曲线的切线方程和法线方程，导数的物理意义，利用导数描述一些物理量，导数和函数连续性的关系。

2.掌握复合函数的导数和求导规则的四则运算法则，基本初等函数的求导公式。知道了微分的四个运算法则和一阶微分形式的不变性，就可以求函数的微分了。

3.理解高阶导数的概念，求简单函数的高阶导数。

4.求分段函数，隐函数，参数方程确定的函数，反函数的导数。

5.理解并运用罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理，认识并运用柯西中值定理。

6.掌握利用洛必达法则求未定式极限的方法。

7.了解函数极值的概念，掌握判断单调性和用导数求函数极值的方法，掌握求函数最大值和最小值的方法及其应用。

8.会用导数来判断函数图的凹凸性(注:在区间(a.b)中，设函数(x)有二阶导数为f & # 34(x)>0，f(x)的图形是凹的；当f & # 34(X)& lt；0，f(X)的图形是凸的)，就会找到函数的图形的拐点和水平、垂直、斜渐近线，从而刻画出函数的图形。

9.理解曲率、曲率圆、曲率半径的概念，计算曲率和曲率半径。

三、一元函数的积分学

原函数与不定积分的概念、不定积分的基本性质、基本积分的常用公式、定积分的概念与基本性质、定积分的中值定理、积分及其导数的上界函数、牛顿-莱布尼茨公式、不定积分与定积分的换元法、有理公式的积分与分部积分的简单无理函数、有理函数与三角函数、反常(广义)积分。

考试要求

1.理解原函数、不定积分、定积分的概念。

2.掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的性质，定积分的中值定理，换元积分法和分部积分法。

3.求有理函数，有理三角函数，简单无理函数的积分。

4.了解积分上限的作用，求其导数，掌握牛顿-凯布尼茨公式。

5.理解广义积分的概念，计算广义积分。

6.掌握用定积分表示和计算一些几何物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积已知的三维体积、功、重力、压力、质心、质心等。)和函数的平均值。

四。多元函数微积分

多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限和连续性的概念，有界闭区域，二元连续函数的性质，多元函数的偏导数和全微分，多元复合函数的求导方法，隐函数，多元函数的二阶偏导数，极值和条件极值，最大值和最小值，二重积分的概念，基本性质和计算。

考试要求

1.了解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2.了解二元函数极限和连续的概念，了解二元连续函数在有界闭域上的性质。

3.了解多元函数的偏导数和全微分的概念，求多元复合函数的一阶和二阶偏导数，求全微分，了解隐函数的存在定理，求多元隐函数的偏导数。

4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，知道二元函数极值存在的充分条件，求二元函数极值，用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。

5.了解二重积分的概念和基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标，极坐标)。

动词 （verb的缩写）常微分方程

常微分方程的基本概念，可分离变量微分，齐次微分方程，一阶线性微分方程，可降阶高阶微分方程，线性微分方程解的性质和结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程，一些高于二阶的常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，微分方程的简单应用。

考试要求

1.了解微分方程的概念及其阶、解、通解、初始条件、特解。

2.掌握变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程。

3.以下微分方程可用降阶法求解:y & # 34=f(x)、y & # 34= f(x，y & # 39)和y & # 34=f(y，y & # 39).

4.了解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理。

5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，能够解一些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

6.求解二阶常系数非齐次线性微分方程，其自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及其和与积。

7.一些简单的应用问题可以用微分方程来解决。

线性代数

1.决定因素

行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开的定理。

考试要求

1.理解行列式的概念，掌握行列式的性质。

2.会应用行列式的性质和行列式的行(列)展开定理计算行列式。

二。[数]矩阵

矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，矩阵的幂，矩阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，矩阵的初等变换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵的等价，分块矩阵及其运算。

考试要求

1.了解矩阵、单位矩阵、量化矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵的概念及其性质。

2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规则，了解方阵乘积的行列式和方阵幂的性质。

3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质和矩阵可逆的充要条件。了解伴随矩阵的概念，利用伴随矩阵求逆矩阵。

4.了解矩阵的初等变换概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，了解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

5.理解分块矩阵及其运算。

三。矢量

向量的概念，向量的线性组合与线性表示，向量组的线性相关与线性无关，向量组的极大线性无关，等价向量组，向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩的关系，向量的内积以及线性无关向量组的正交归一方法。

考试要求

1.理解N维向量、向量的线性组合和线性表示的概念。

2.了解向量组的线性相关和线性无关的概念，掌握向量组的线性相关和线性无关的相关性质和判别方法。

3.理解向量组的极大线性无关组和秩的概念，求向量组的极大线性无关组和秩。

4.理解向量组等价的概念以及矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系。

5.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交归一的施密特方法。

四。线性方程

线性方程组的克莱姆法则，齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线性方程组有解的充要条件，线性方程组解的性质和结构，齐次线性方程组的基本解和通解，非齐次线性方程组的通解。

考试要求

1.可以用克莱姆法则。

2.了解齐次线性方程组有非零解，非齐次线性方程组有解的充要条件。

3.了解齐次线性方程组的基本解系和通解的概念，掌握齐次线性方程组的基本解系和通解的解法。

4.了解非齐次线性方程组解的结构和通解的概念。

5.可以用初等行变换解线性方程组。

动词 （verb的缩写）矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量的概念和性质，相似矩阵的概念和性质，矩阵相似对角化的充要条件，相似对角矩阵和实对称矩阵的特征值、特征向量和相似对角矩阵。

考试要求

1.了解矩阵特征值和特征向量的概念和性质，求矩阵特征值和特征向量。

2.了解相似矩阵的概念和性质以及矩阵相似对角化的充要条件，将矩阵转化为相似对角矩阵。

3.理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

第六，二次型

二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，二次型的秩，惯性定理，二次型的标准型与标准型，用正交变换与配点法将二次型化为标准型，二次型及其矩阵的正判定。

考试要求

1.理解二次型的概念，用矩阵形式表示二次型，理解合同变换和合同矩阵的概念。

2.理解二次型的秩的概念，二次型的标准型和标准型的概念，以及惯性定理，通过正交变换和搭配将二次型转化为标准型。

3.了解正定二次型和正定矩阵的概念，掌握其判别方法。