七巧板原图(七巧板的样子图片)

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作者|王东风杨凡(写于2021年11月16日)

来源|小拼图世界，本文经作者授权发布，供读者在数学文化征文活动中参考。

头脑风暴12块，一种历史悠久的益智玩具，据说起源于中国的多米诺骨牌，在西方被称为“中国的拼图”或“五联骨牌”。伤脑筋的12块，包括由边连接的5个单位正方形构成的全部12种多边形。这些多边形也被称为五多米诺骨牌或五元组。伤脑筋的12件有各种玩法。最基本的玩法是用12块拼一个6×10或者5×12的长方形。50年代初，上海的语文老师方步远把12个棋子改成了立体棋子，使打法更加丰富，比如能拼出3×4×5的长方体。伤脑筋的12枚棋子也被漫画家丰子恺誉为“优于玩具，堪比象棋，堪比国棋(xié，堪比)。”

在马丁·加德纳的《骰子和棋盘上的马》中，有这样一个结论:每一张四边形和五边形的正六边形多米诺骨牌都可以放平。同样，王东峰先生发现，12个伤脑筋的棋子，每一个也可以密密麻麻地铺上去。如下图所示，每一个英文字母都是根据每个pentadomino的形状来命名的，这也是12个伤脑筋的粉丝常用的命名方式。

王东峰老师尝试了任意两个五胞胎的组合，发现C (12，2) = 66的组合有66种，而且都可以紧密的放在一起。后来，王东峰先生提出了一个似乎不太可能成立的猜想:“十二伤筋动骨的瓦片，任何一个都可以密铺。”

今年10月22日，毕吉鹏老师在马丁的派对在线上分享了“十二种伤脑筋的创意玩法”主题。在最后的讨论环节，王东峰老师再次提出了这个猜想，引起了大家的思考。

经过王东峰的探索和朋友间的讨论，这个猜想在今年11月13日得到了证明，然后我们推广了这个结论。内容如下。

01

引理1:在12个伤脑筋的块中，除了U形之外的n个五元组(2≤n≤12，下同)的任意组合都可以周期性地闭合平面。

(周期密铺是指在一个方向平移后能与原图重合的密铺模式。否则就是不定期闭店。)

证明:如下图所示，每一个pentadomino都可以单独拼成“1-2”字形，并向两个方向无限延伸。所以，不管有几个五联骨牌，只要依次拼在一起，然后整体重复。

02

引理2：在伤脑筋12块中，任意一种含有U形及“F、L、N、P、T、W、Y、Z”之一的五连方组合可以周期性密铺平面。

证明:假设组合包含f是可取的。

先将U形和F形拼成“1-2”锯齿形（抱歉，这里漏了一幅图，请见下期修订版），其余形状根据引理1单独拼成“1-2”锯齿形，之后依次拼在一起，然后整体再不断重复。

03

引理3：在伤脑筋12块中，U形与“I、V、X”中任意几种骨牌的组合可以周期性密铺平面。

证明:如下图所示，七种组合都能周期性地闭合平面。

综合图1和引理1-3得到引理4:

引理4

在伤脑筋12块中，任意n种五连方的组合（1≤n≤12），都能周期性密铺平面。

可以计算出这些组合的总和为

引理5

在伤脑筋12块中，任意n种五连方的组合（2≤n≤12）,都能非周期性密铺平面。

证明:对于“1-2”字形密排的任意组合，假设按照上述密排方法形成n种“1-2”字形阵列(记为a1，a2，…，an)。先把这n种数组依次放在一起组成“aa…an”，然后两边加“aaaa…anan”，再两边加“AAAA … ANAN”。

在后七种密铺中，UV中形成两种“1-4”之字型阵列，UI中形成两种“2-2”之字型阵列，UVX形成两种“3-2”之字型阵列，UVI形成两种柱状阵列(可视为“零之字型”阵列)，可类似于“1-2”之字型密铺。

UX、UIX和乌维克斯形成了一个矩形的重复单元。所有矩形重复单元可以排列成两列，如下图所示:

之后可以看做零锯齿阵列，可以非周期的方式布局。

注意，当n=1时，这个命题不成立，因为Domino X只有一个close shop(及其镜像)，不属于非周期性close shop。

引理6

在伤脑筋12块中，任意n种五连方的组合（1≤n≤12）,都能周期性或非周期性地密铺空间。

证明:在引理4的基础上，周期性的闭铺空室是明显的——只是一层一层的重复堆叠。下面来证明一下不定期关店。

对于任何组合，至少有一个平坦周期稠密商店(记为T)。让我们将T向上或向右移动1格(记为T′)，这样T和T′就不会重合。然后我们可以先叠一层T和T ‘，再上下叠一层“T T T’ T’ T ‘”，再上下叠“T T T T’ T’ T’ T ‘”…以此类推，实现空之间的非周期性紧密铺设。

综合引理4-6，我们证明了下面的定理。

定理1

在伤脑筋12块中，任意n种五连方的组合（2≤n≤12）,都能周期性或非周期性地密铺平面和空间。

附言

从凸五边形的单密铺研究，想到多米诺骨牌的密铺问题。今天翻了翻《分区与组合——从七巧板到水立方》(刘·)这本书，读了很多遍，收获颇丰。比如我们知道7张多米诺骨牌有108种，但只有4种不能密排(其中一种有空孔)。8张多米诺骨牌369种，只有26种不能密铺(其中6种有空孔)。到2007年，只发现了28种多米诺骨牌——15351100594603。但是书中并没有很多多米诺骨牌组合的信息。

最后，感谢应长风、雷冉、乐瞳等朋友的讨论(尤其是应长风老师的“点睛之笔”——在一家秘密店铺里发现了一种“UVIX”的方式)。