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数学之美：导数和极值的关系

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数学之美：导数和极值的关系预备知识 导数 图 1 导数为零的三种点 如图 1 若一个一元函数 在某区间内处处可导 即对区间内的任何 导数 都存在 若区间内存在某些 能使 即在这些点处函数曲线的斜率为零 这样的点被称为驻点

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预备知识　导数

图1：导数为零的三种点


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　　 如图 1 ， 若一个一元函数 y=f(x) 在某区间内处处可导（即对区间内的任何 x 导数 f'(x) 都存在），若区间内存在某些 x_i 能使 f'(x_i)=0 （ 即在这些点处函数曲线的斜率为零）， 这样的点被称为驻点．

　　 而从函数曲线来看，驻点又分为三类： 极大值，极小值，鞍点． 我们以x_i为中心取一个小区间， 如果这个区间足够小， 那么容易看出对于极大值点， f'(x) 在小区间内递减， 对于鞍点， f'(x) 在小区间内恒为非负或恒为非正， 对于极小值点， f'(x) 在小区间内递增． 所以为了判断驻点的类型， 我们可以在驻点处求函数的二阶导数 f''(x_i) ． 假设二阶偏导存在， 如果 f''(x_i)<0 ， 那么 x_i 是极大值点， 如果 f''(x_i)=0 ， 则 x_i 是鞍点， 如果 f''(x_i)>0 ，x_i 是极小值点．

　　 另外， 若某个极小值点是整个考察区间中函数值最小的点， 它就被称为最小值点， 若某个极大值点是该区间中函数值最大的点， 它就被称为最大值点．

例1 
　　 二次函数  f(x)=ax^2+bx+c 的导函数为  f'(x)=2ax+b ， 所以唯一的驻点为  -b/(2a) ． 函数的二阶导数是一个常数  f''(x)=2a ， 所以当  a>0 时驻点是唯一的极小值点， 即最小值点． 同理， 当  a<0 时驻点是最大值点．

 

图2：例 2 函数图

例2 
　　 函数  f(x)=x+a/x\:(a>0) 的一阶导函数为  f'(x)=1-a/x^2 ， 若我们只考察区间  (0,+\infty) ， 唯一的驻点为  x=\sqrt{a} ． 函数的二阶导函数  f''(x)=2a/x^3 在驻点处的值为  2/\sqrt{a}>0 ， 所以该驻点为当前区间的最小值点（ 图 2 ）．

 

例3 
　　 函数  f(x)=x^3 的一阶导函数为  f'(x)=3x^2 ， 唯一的驻点为  x=0 ． 函数的二阶导函数  f''(x)=6x 在驻点处的值为  0 ， 所以该驻点是一个鞍点．
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