数学模型学习——模糊关系与模糊矩阵

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一、基本概念

先来看一下模糊关系的定义：

定义：设论域 $U, V$ ，乘积空间上 $U\times V=\{(u,v)|u\in U,v\in V\}$ 上的一个模糊子集 $R$ 为从集合 $U$ 到集合 $V$ 的模糊关系。如果模糊关系 $R$ 的隶属函数为
$\mu_R: U\times V\rightarrow [0,1],(x,y)\mapsto\mu_R(x,y)$
则称隶属度 $\mu_R(x,y)$ 为 $(x, y)$ 关于模糊关系 $R$ 的相关程度。

这是二元模糊关系的数学定义，多元模糊关系也可以类似定义。

模糊关系即为“模糊的关系”，因此乘积空间上的一个子集刻画了论域 $U, V$ 的一种模糊的关系，例如， $U$ 为某财经院校学生高考成绩的集合， $V$ 为某985院校学生高考成绩的集合，由此“该财经院校学生高考成绩远低于该985院校学生高考成绩”是从 $U$ 到 $V$ 的一种模糊关系（因为“远低于”概念模糊无法确定），其隶属函数可以表示为：
$\mu_R(u,v)=\begin{cases} 0，u\geqslant v\\ \frac{1}{1+\frac{100}{(u-v)^2}}， u<v\end{cases}$
当 $U\geqslant V$ 时，肯定不会是“远低于”，故隶属度为0；当 $U < V$ 时，可用从0到1的曲线来刻画模糊关系”远低于“的程度。

当 $U, V$ 中的元素有限，任意 $x_i\in U,y_j\in V, i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n$ ，记 $\mu_R(x_i,y_j)=r_{ij} \in [0,1]$ ，于是 $R=(r_{ij})_{m\times n}$ 就是所谓的模糊矩阵，即用矩阵表示了二集合之间的模糊关系（没有具体的隶属函数表达式）。下面给出一般的定义：

定义：设矩阵 $R=(r_{ij})_{m\times n}$ ，且 $r_{ij} \in [0,1],i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n$ ，则称 $R$ 为模糊矩阵。

特别地，如果 $r_{ij} \in \{0,1\}$ ，则称 $R$ 为布尔(Bool)矩阵，当模糊方阵 $R=(r_{ij})_{n\times n}$ 的对角线上的元素 $r_{ij}$ 都为1时，则称 $R$ 为模糊自反矩阵。

当 $m = 1$ 或者 $n = 1$ 时，相应的模糊矩阵分别成为模糊行向量和模糊列向量。

二、模糊矩阵的运算及其性质

1.模糊矩阵的运算及其性质

设 $A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{m\times n}$ 都是模糊矩阵，定义：

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（1）相等：
$A=B\Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij}$
（2）包含：

$A\leq B\Leftrightarrow a_{ij}\leq b_{ij}$
（3）并：
$A\cup B=(a_{ij}\vee b_{ij})_{m\times n}$
（4）交：
$A\cap B=(a_{ij}\wedge b_{ij})_{m\times n}\\$
（5）余：
$A^C=(1-a_{ij})_{m\times n}$
例：设 $A=\left(\begin{matrix} 1&0.1\\0.3&0.5\end{matrix}\right),B=\left(\begin{matrix} 0.7&0\\0.4&0.9\end{matrix}\right)$ ，则
$A\cup B=\left(\begin{matrix} 1&0.1\\0.4&0.9\end{matrix}\right),A\cap B=\left(\begin{matrix} 0.7&0\\0.3&0.5\end{matrix}\right),A^C=\left(\begin{matrix} 0&0.9\\0.7&0.5\end{matrix}\right)$

2.模糊矩阵的合成

设 $A=(a_{ij})_{m\times s},B=(b_{ij})_{s\times n}$ 都是模糊矩阵，定义：
$A\circ B=(c_{ij})_{m\times n}$
为 $A$ 与 $B$ 的合成，其中
$c_{ij}=\max\{(a_{ik}\wedge b_{kj})|1\leq k\leq s\}$
紧接着可以定义模糊方阵的幂：
$A^2=A\circ A,A^k=A^{k-1}\circ A$
例：设 $A=\left(\begin{matrix}0.4&0.7&0\\1&0.8&0.5\end{matrix}\right),B=\left(\begin{matrix}1&0.7\\0.4&0.6\\0&0.3\end{matrix}\right)$ ，则
$A\circ B=\left(\begin{matrix}0.4&0.6\\1&0.7\end{matrix}\right),B\circ A=\left(\begin{matrix}0.7&0.7&0.5\\0.6&0.6&0.5\\0.3&0.3&0.3\end{matrix}\right)$

3.模糊矩阵的转置

模糊矩阵的转置与一般矩阵的转置定义相同。

4.模糊矩阵的 $\lambda-$ 截矩阵

设 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ ，对任意的 $\lambda \in [0,1]$ ，

令
$a_{ij}^{(\lambda)}=\begin{cases}1,a_{ij}\geq\lambda\\0,a_{ij}<\lambda\end{cases}$
则称 $A_\lambda=(a_{ij}^{(\lambda)})_{m\times n}$ 为模糊矩阵 $A$ 的 $\lambda$ 截矩阵。

令
$a_{ij}^{(\lambda)}=\begin{cases}1,a_{ij}>\lambda\\0,a_{ij}\leq\lambda\end{cases}$
则称 $A_{\lambda_\cdot}=(a_{ij}^{(\lambda)})_{m\times n}$ 为模糊矩阵 $A$ 的 $\lambda$ 强截矩阵。

显然， $\lambda$ 截矩阵是布尔矩阵。

例：设 $A=\left(\begin{matrix}1&0.5&0.2&0\\0.5&1&0.1&0.3\\0.2&0.1&1&0.8\\0&0.3&0.8&1\end{matrix}\right)$ ，则
$A_{0.5}=\left(\begin{matrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{matrix}\right),A_{0.3}=\left(\begin{matrix}1&1&0&0\\1&1&0&1\\0&0&1&1\\0&1&1&1\end{matrix}\right)$