3.3 浮点数表示法

内容导视：

• 小数对应的二进制
• 科学计数法
• 浮点数表示法
• 最大值、最小值
• 特殊值

3.3.1 小数对应的二进制

之前漏掉了小数对应的二进制，现补上。

二进制转十进制

从个位数开始向左计算，个位数乘以 2 的 0 次方，十位数乘以 2 的 1 次方，百位数乘以 2 的 2 次方…

从十分位开始向右计算，十分位乘以 2 的 -1 次方，百分位乘以 2 的 -2 次方…

然后将每个式子的结果相加。

例 1：0b101.11 转为十进制

最高位是百位，从 1 * 2 ^ 2 开始 最低位是百分位，到 1 * 2 ^ -2 结束 0b101.11 = 1 * 2 ^ 2 + 0 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 0 + 1 * 2 ^ -1 + 1 * 2 ^ -2 = 4 + 1 + 0.5 + 0.25 = 5.75 

例 2：0b111.01 转为十进制

讯享网0b111.01 = 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 0 + 0 * 2 ^ -1 + 1 * 2 ^ -2 = 4 + 2 + 1 + 0 + 0.25 = 7.25 

可以看到小数部分都是由 0.5、0.25、0.125、0.0625… 等数组合表示，前面的系数 1 或 0，0.625 = 1 * 0.5 + 0 * 0.25 + 1 * 0.125，所以 0.625 对应的二进制为 0.101。

例 3：0100.4 转为十进制，八进制转为十进制，同上过程，将 2 换成 8。

0100.4 = 1 * 8 ^ 2 + 4 * 8 ^ -1 = 64 + 0.5 = 64.5 

100 = 0000100，1.1 = 1.10000，补 0 是为了方便转换为其它进制，参考 3.1.2 二进制与八进制互转。

4 = 04 = 0b100 = 0b0100 = 0x4，1 * 8⁰ + 4 * 8^-1 = 1.5 = 01.4 = 0b1.100 = 0b1.1000 = 0x1.8

十进制转二进制

整数部分除以 2 得到商，再将商除以 2，如此反复，直到商为 0，然后将每步得到的余数倒过来，就是对应的二进制。

小数部分乘以 2 得到积，取整数部分，余下的部分再次乘以 2，重复步骤，直到余数为 0，取出的整数合并再添上前缀 0. 就是小数对应的二进制。

再将整数和小数部分对应的二进制合并。

使用二进制表示小数可能会有精度损失。

例 1：0.75 转为二进制

讯享网0.75 * 2 = 1.5，取 1，余 0.5 0.5 * 2 = 1，取 1，余 0 所以 0.75 对应的二进制为 0b0.11 

例 2：3.4 转为二进制

整数部分 3 转为二进制为 0b11 小数部分 0.4 0.4 * 2 = 0.8，取 0，余 0.8 0.8 * 2 = 1.6，取 1，余 0.6 0.6 * 2 = 1.2，取 1，余 0.2 0.2 * 2 = 0.4，取 0，余 0.4 0.4 * 2 = 0.8，取 0，余 0.8 ... 所以小数部分 0.4 对应的二进制为 0b0.0110 0110 0110... 的循环 3.4 对应的二进制为 0b11.0110 0110 0110... 

例 3：123.123 转为二进制

讯享网123/2，商 61，余 1 61/2，商 30，余 1 30/2，商 15，余 0 15/2，商 7，余 1 7/2，商 3，余 1 3/2，商 1，余 1 1/2，商 0，余 1 所以 123 对应的二进制为 0b 

0.123 * 2 = 0.246，取 0，余 0.246 0.246 * 2 = 0.492，取 0，余 0.492 0.492 * 2 = 0.984，取 0，余 0.984 0.984 * 2 = 1.968，取 1，余 0.968 0.968 * 2 = 1.936，取 1，余 0.936 0.936 * 2 = 1.872，取 1，余 0.872 0.872 * 2 = 1.744，取 1，余 0.744 0.744 * 2 = 1.488，取 1，余 0.488 0.488 * 2 = 0.976，取 0，余 0.976 ... 0.123 对应的二进制为 0b0.000... 

所以 123.123 对应的二进制为 0b.000…

3.3.2 科学计数法

十进制表示法（E）

1.4E-45 = 1.4 * 10^-45，1.4 称为尾数（Mantissa），10 为基数、底数（Base），-45 为指数（Exponent），都是十进制表示。

讯享网

尾数在 [1.0，10) 之间的表示方法称为 modified normalized form，正是 Java 所使用的。

尾数在 [0.0，1.0) 之间的表示方法称为 true normalized form。

例：

• 3.E38 = 3. * 10³⁸
• = 9.99999 * 10⁵。
• 0b = 0b1.0010101 * 2⁷（对于二进制而言，每乘以 2 就相当于小数点往右移动一位）

Java 中，当小数超出 [-，] 范围时，会使用科学计数法表示。

讯享网System.out.println(-.0);// -1.0E7 

思考控制台输出什么结果？

System.out.println(500e-2); 

答：500e-2 = 500 * 10^-2 = 500 / 10² = 5.0

科学计数法默认被当作 double 类型来处理，所以小数不能掉。

讯享网System.out.println(-); System.out.println(500E-7); 

第 1 个不是小数，原样输出。第 2 个超过上述所说的范围，那使用科学计数法表示，尾数应在 [1.0，10) 之间，输出 5.0E-5。

十六进制表示（P）

在十六进制表示中，2 为底数。

例 1：0xa.0p-1 转为十进制

0xa.0 转为十进制为 10 0xa.0p-1 = 10 * 2 ^ -1 = 10 / 2 = 5.0 

例 2：0x19.0p-2 转为十进制

讯享网0x19.0 转十进制 0x19.0 = 1 * 16 ^ 1 + 9 * 16 ^ 0 = 16 + 9 = 25 0x19.0p-2 = 25 * 2 ^ -2 = 25 / 4 = 6.25 

例 3：0x0.12p2 转为十进制

0x0.12 转十进制 0x0.12 = 1 * 16 ^ -1 + 2 * 16 ^ -2 = 1/16 + 2/256 = 0.0 0x0.12p2 = 0.0 * 2 ^ 2 = 0.28125 

例 4：0b1.0010101 * 2⁷ 转为十进制

讯享网0b1.0010101 * 2 ^ 7 = 0b = 1 + 4 + 16 + 128 = 149 

0b1.0010101 = 0b1 + 0b0.0010101 = 1 + 0.125 + 0.03125 + 0.0078125 = 1. 1. * 2 ^ 7 = 1. * 128 = 149 

讯享网0b1.00 = 0x1.2a = 1 + 2/16 + 10/256 = 1 + 0.125 + 0.0 = 1. 1. * 2 ^ 7 = 149 

3.3.3 浮点数表示法

浮点数如何表示小数？

分为四部分表示：符号、尾数、基数和指数。

例：0b1010.11101 * 2¹⁰

符号：+，尾数：1010.11101，基数：2，指数：10。

浮点数有两种类型：单精度浮点数（float：32bit）和双精度浮点数（double：64bit）。