参考: 可汗学院线性代数
1、奇异矩阵
如果矩阵A不可逆,则称矩阵A是奇异矩阵。
2、非奇异矩阵
对一个n行n列的非零矩阵A，如果存在一个矩阵B使AB=BA=I（I是单位矩阵），则称A是可逆的，也称A为非奇异矩阵。
3、奇异矩阵的特点
看一个二阶矩阵的例子:
A = [ a b c d ] A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} A=[acbd]
A − 1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix} A−1=ad−bc1[d−c−ba]
如果矩阵A不可逆,那么: ad = bc.
矩阵A的行列式:
∣ A ∣ = ∣ a b c d ∣ = a d − b c \left| A \right| = \left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right|= a d - b c ∣A∣=∣∣∣∣acbd∣∣∣∣=ad−bc
也就是说:如果一个矩阵是奇异矩阵,那么他的行列式等于零。
4、奇异矩阵的几何意义
对于2个向量:
a ⃗ = [ 1 1 ] \vec a = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} a=[11]
b ⃗ = [ 2 2 ] \vec b = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ \end{bmatrix} b=[22]
组成的矩阵A是一个奇异矩阵:
A = [ 1 2 1 2 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix} A=[1122]
那么说明向量 a ⃗ \vec a a和 b ⃗ \vec b b是重合或者平行关系。
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