IEEE754标准

1、什么是IEEE754标准

我们知道, 计算机内部实际上只能存储或识别二进制.

在计算机中, 我们日常所使用的文档, 图片, 数字等, 在储存时, 实际上都要以二进制的形式存放在内存或硬盘中, 内存或硬盘就好像是一个被划分为许多小格子的容器, 其中每个小格子都只能盛放0或1…

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我们日常使用的 浮点数 也不例外, 最终也要被存储到这样的二进制小格子中.

这就涉及到了 应该怎么存 的问题, 比如, 对于浮点数 20.5, 是应该存储为 0 呢, 还是应该存储为 呢?

事实上直到20世纪80年代, 还是计算机厂商各自为战, 每家都在设计自己的浮点数存储规则, 彼此之间并不兼容. 直到1985年, IEEE754标准问世, 浮点数的存储问题才有了一个通用的工业标准.

IEEE754标准提供了如何在计算机内存中,以二进制的方式存储十进制浮点数的具体标准,

IEEE754标准发布于1985年. 包括 javascript, Java, C在内的许多编程语言在实现浮点数时, 都遵循IEEE754标准.

IEEE754的最新标准是IEEE754-2008, 但本篇文章主要参考的是IEEE754-1985, 好在两者相差并不大, 而参照1985的标准可以让我们对一些基础概念有更好的理解

IEEE754提供了四种精度规范, 其中最常用的是 单精度浮点型 和 双精度浮点型 , 但IEEE754并没有规定32位浮点数类型需要叫做 float, 或64位浮点数需要叫做 double. 它只是提供了一些关于如何存储不同精度浮点数的规范和标准. 不过一般情况下, 如果我们提到 float, 其实指的就是IEEE754标准中的32位单精度浮点数. 如果我们提到 double, 其实指的就是IEEE754标准中的64位双精度浮点数

下面是单精度浮点数和双精度浮点数的一些信息, 可以先简单看一下, 看不懂也没关系, 下文会对这里的信息做详细的解释…

单双精度浮点数对比

好啦, 铺垫完了, 开始正文吧~

这里我们主要研究 32位浮点数 (或者说单精度浮点数, 或者说float类型) 在计算机中是怎么存储的. 其他精度, 比如64位浮点数, 则大同小异.

想要存储一个32位浮点数, 比如20.5, 在内存或硬盘中要占用32个二进制位 (或者说32个小格子, 32个比特位)

这32个二进制位被划分为3部分, 用途各不相同:

32位浮点数内存占用示意图, 共使用了32个小格子

这32个二进制位的内存编号从高到低 (从31到0), 共包含如下几个部分:

sign: 符号位, 即图中蓝色的方块

biased exponent: 偏移后的指数位, 即图中绿色的方块

fraction: 尾数位, 即图中红色的方块

下面会依次介绍这三个部分的概念, 用途.

1. 符号位: sign
   
   以32位单精度浮点数为例, 以下不再赘述:

符号位: 占据最高位(第31位)这一位, 用于表示这个浮点数是正数还是负数, 为0表示正数, 为1表示负数.

举例: 对于十进制数20.5, 存储在内存中时, 符号位应为0, 因为这是个正数

2. 偏移后的指数位: biased exponent

指数位占据第30位到第23位这8位. 也就是上图的绿色部分.

用于表示以2位底的指数. 至于这个指数的作用, 后文会详细讲解, 这里只需要知道: 8位二进制可以表示256种状态, IEEE754规定, 指数位用于表示[-127, 128]范围内的指数.

不过为了表示起来更方便, 浮点型的指数位都有一个固定的偏移量(bias), 用于使 指数 + 这个偏移量 = 一个非负整数. 这样指数位部分就不用为如何表示负数而担心了.

规定: 在32位单精度类型中, 这个偏移量是127. 在64位双精度类型中, 偏移量是1023. 所以, 这里的偏移量是127

⭐ 即, 如果你运算后得到的指数是 -127, 那么偏移后, 在指数位中就需要表示为: -127 + 127(偏移量) = 0

如果你运算后得到的指数是 -10, 那么偏移后, 在指数位中需要表示为: -10 + 127(偏移量) = 117

看, 有了偏移量, 指数位中始终都是一个非负整数.

看到这里, 可能会觉得还不是很清楚指数的作用到的是什么. 没关系, 让我们先继续往下看吧…

3. 尾数位:fraction
   

尾数位: 占据剩余的22位到0位这23位. 用于存储尾数.

在以二进制格式存储十进制浮点数时, 首先需要把十进制浮点数表示为二进制格式, 还拿十进制数20.5举例:

十进制浮点数20.5 = 二进制10100.1

然后, 需要把这个二进制数转换为以2为底的指数形式:

二进制10100.1 = 1.01001 * 2^4

注意转换时, 对于乘号左边, 加粗的那个二进制数1.01001, 需要把小数点放在左起第一位和第二位之间. 且第一位需要是个非0数. 这样表示好之后, 其中的1.01001就是尾数.

用 二进制数 表示 十进制浮点数 时, 表示为 尾数*指数的形式, 并把尾数的小数点放在第一位和第二位之间, 然后保证第一位数非0,这个处理过程叫做 规范化(normalized)

我们再来看看规范化之后的这个数: 1.01001 * 2^4

其中1.01001是尾数, 而4就是偏移前的指数(unbiased exponent), 上文讲过, 32位单精度浮点数的偏移量(bias)为127, 所以这里加上偏移量之后, 得到的偏移后指数(biased exponent)就是 4 + 127 = 131, 131转换为二进制就是1000 0011

现在还需要对尾数做一些特殊处理

1. 隐藏高位1.

你会发现, 尾数部分的最高位始终为1. 比如这里的 1.01001, 这是因为前面说过, 规范化之后, 尾数中的小数点会位于左起第一位和第二位之间. 且第一位是个非0数. 而二进制中, 每一位可取值只有0或1, 如果第一位非0, 则第一位只能为1. 所以在存储尾数时, 可以省略前面的 1和小数点. 只记录尾数中小数点之后的部分, 这样就节约了一位内存. 所以这里只需记录剩余的尾数部分: 01001

所以, 以后再提到尾数, 如无特殊说明, 指的其实是隐藏了整数部分1. 之后, 剩下的小数部分

2. 低位补0

有时候尾数会不够填满尾数位(即图中的红色格子). 比如这里的, 尾数01001不够23位

此时, 需要在低位补零, 补齐23位.

之所以在低位补0, 是因为尾数中存储的本质上是二进制的小数部分, 所以如果想要在不影响原数值的情况下, 填满23位, 就需要在低位补零.

比如, 要把二进制数1.01在不改变原值的情况下填满八位内存, 写出来就应该是: 1.010 0000, 即需要在低位补0

同理, 本例中因为尾数部分存储的实际上是省略了整数部分 1. 之后, 剩余的小数部分, 所以这里补0时也需要在低位补0:

原尾数是: 01001(不到23位)

补零之后是: 0100 1000 0000 0000 000 (补至23位)

符号位是: 0

偏移后指数位是: 1000 0011

补零后尾数位是: 0100 1000 0000 0000 000

现在, 把这三部分按顺序放在32位浮点数容器中, 就是 0 1000 0011 0100 1000 0000 0000 000

这就在32位浮点数容器中, 以二进制表示了一个十进制数20.5的方式

这里有一个可以验证的IEEE754浮点数内存状态的网站, 我们来验证一下:

可见验证是通过的. 不过为了加深理解, 我们再反向推导一遍:

假设现在我们有一个用二进制表示的32位浮点数: 0 1000 0011 0100 1000 0000 0000 000, 求它所代表的十进制浮点数是多少?

观察可知:

符号位是0: 所以这是个正数.

尾数是: 0100 1000 0000 0000 000

去掉后面的补零, 再加上隐藏的整数部分1. 得到完整的尾数(含隐藏的整数部分)为: 1.01001

偏移后的指数位为: 1000 0011, 转换为十进制为131, 减去偏移量127, 得到真正的指数是 4

所以, 最后得到的浮点数 = 尾数(含隐藏的整数部分) * 以2为底的指数次幂

= 二进制的: 1.01001 * 2^4

= 把小数点向右移动4位

= 二进制的10100.1

= 十进制位20.5

注意, 直到最后一步才把二进制转换为十进制.

附带的, 这里还有一个进制转换网站, 可以看到二进制的10100.1, 确实等于十进制的20.5

到这里就讲解的差不多了,

随后是一张大体的计算方法示意图

还有双精度类型的内存状态示意图: