Cark变换的恒幅值与恒功率形式推导
1- 对ABC坐标系的认识
向量幅值
V a = V m ∗ c o s ( w t ) Va = Vm * cos(wt) Va=Vm∗cos(wt)
V b = V m ∗ c o s ( w t − 120 ° ) Vb = Vm * cos(wt-120°) Vb=Vm∗cos(wt−120°)
V c = V m ∗ c o s ( w t + 120 ° ) Vc = Vm * cos(wt+120°) Vc=Vm∗cos(wt+120°)
任意时刻，幅值满足： V a + V b + V c = 0 Va+Vb+Vc=0 Va+Vb+Vc=0
合成向量
相位上，以a轴作为参考，则b轴超前a轴120°，c轴滞后a轴120°
V a ⃗ = V a ∗ e j 0 ° V b ⃗ = V b ∗ e j 120 ° V c ⃗ = V c ∗ e − j 120 ° \vec{V_{a}} =Va*e^{j0°}\\ \vec{V_{b}} =Vb*e^{j120°}\\ \vec{V_{c}} =Vc*e^{-j120°} Va=Va∗ej0°Vb=Vb∗ej120°Vc=Vc∗e−j120°
合成向量 V δ ⃗ = V a ⃗ + V b ⃗ + V c ⃗ \vec{V_{δ}} = \vec{Va} + \vec{Vb} + \vec{Vc} Vδ=Va+Vb+Vc, 即有
V δ ⃗ = V a ⃗ + V b ⃗ + V c ⃗ = V a ∗ e j 0 ° + V b ∗ e j 120 ° + V c ∗ e − j 120 ° = V m ∗ c o s ( w t ) + V m ∗ c o s ( w t − 120 ° ) ∗ ( c o s 120 ° + j ∗ s i n 120 ° ） + V m ∗ c o s ( w t + 120 ° ) ∗ ( c o s 120 ° − j ∗ s i n 120 ° ) = 3 2 V m ∗ c o s ( w t ) + j ( 3 2 V m ∗ s i n ( w t ) ) = 3 2 V m ∗ e j w t \begin{split} \vec{V_{δ}} &= \vec{Va} + \vec{Vb} + \vec{Vc}\\ &=Va*e^{j0°} + Vb*e^{j120°} + Vc*e^{-j120°} \\ &=Vm * cos(wt) + Vm * cos(wt-120°)*(cos120°+j*sin120°） + Vm * cos(wt+120°)*(cos120°-j*sin120°) \\ &=\frac{3}{2}Vm*cos(wt)+j(\frac{3}{2}Vm*sin(wt))\\ &=\frac{3}{2}Vm*e^{jwt} \end{split} Vδ=Va+Vb+Vc=Va∗ej0°+Vb∗ej120°+Vc∗e−j120°=Vm∗cos(wt)+Vm∗cos(wt−120°)∗(cos120°+j∗sin120°）+Vm∗cos(wt+120°)∗(cos120°−j∗sin120°)=23Vm∗cos(wt)+j(23Vm∗sin(wt))=23Vm∗ejwt
由此，合成向量 V δ ⃗ \vec{V_{δ}} Vδ的幅值为 3 2 V m \frac{3}{2}Vm 23Vm
2-基本Clark变换
由α-β坐标系与abc坐标系的位置关系
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得到
V α = V a − V b ∗ c o s 60 ° − V c ∗ c o s 60 ° Vα = Va - Vb*cos60° -Vc* cos60° Vα=Va−Vb∗cos60°−Vc∗cos60°
V β = V b ∗ c o s 30 ° − V c ∗ c o s 30 ° Vβ = Vb* cos30° - Vc* cos30° Vβ=Vb∗cos30°−Vc∗cos30°
化简
V α = V a − 1 2 V b − 1 2 V c Vα = Va - \frac{1}{2}Vb -\frac{1}{2}Vc Vα=Va−21Vb−21Vc
V β = 3 2 V b − 3 2 V c Vβ =\frac{\sqrt{3}}{2}Vb - \frac{\sqrt{3}}{2}Vc Vβ=23Vb−23Vc
矩阵形式
[ V α V β ] = [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] ∗ [ V a V b V c ] \begin{bmatrix}Vα\\Vβ\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1& -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2} &-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} Va\\Vb\\Vc \end{bmatrix} [VαVβ]=[10−2123−21−23]∗
VaVbVc
3-恒幅值Clark变换
我们希望合成向量 V δ ⃗ \vec{V_{δ}} Vδ的幅值仍为Vm，而
V δ ⃗ = V a ⃗ + V b ⃗ + V c ⃗ = 3 2 V m ∗ e j w t \begin{split} \vec{V_{δ}} &= \vec{Va} + \vec{Vb} + \vec{Vc}\\ &=\frac{3}{2}Vm*e^{jwt} \end{split} Vδ=Va+Vb+Vc=23Vm∗ejwt
所以在变换矩阵前乘以 2 3 \frac{
{2}}{3} 32即可满足恒幅值变换的要求，那么恒幅值变换矩阵即为
M a = 2 3 ∗ [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] Ma=\frac{
{2}}{3}*\begin{bmatrix} 1& -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2} &-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{bmatrix} Ma=32∗[10−2123−21−23]
4-恒功率Clark变换
由变换前后瞬时功率恒等可得：
[ V α V β ] ∗ [ I α I β ] = [ V a V b V c ] ∗ [ I a I b I c ] \begin{bmatrix}Vα&Vβ\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}Iα\\Iβ\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}Va&Vb&Vc\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}Ia\\Ib\\Ic\end{bmatrix} [VαVβ]∗[IαIβ]=[VaVbVc]∗
IaIbIc
令Mp为恒功率变换矩阵，则有
[ V α V β ] = M p ∗ [ V a V b V c ] ， [ I α I β ] = M p ∗ [ I a I b I c ] \begin{bmatrix}Vα\\Vβ\end{bmatrix}=Mp* \begin{bmatrix}Va\\Vb\\Vc\end{bmatrix}，\begin{bmatrix}Iα\\Iβ\end{bmatrix}=Mp* \begin{bmatrix}Ia\\Ib\\Ic\end{bmatrix} [VαVβ]=Mp∗ VaVbVc ，[IαIβ]=Mp∗ IaIbIc
而 [ V α V β ] = [ V α V β ] T = { M p ∗ [ V a V b V c ] } T \begin{bmatrix}Vα&Vβ\end{bmatrix}={\begin{bmatrix}Vα\\Vβ\end{bmatrix}}^T=\{Mp* \begin{bmatrix}Va\\Vb\\Vc\end{bmatrix}\}^T [VαVβ]=[VαVβ]T={ Mp∗ VaVbVc }T，则有
[ V α V β ] ∗ [ I α I β ] = { M p ∗ [ V a V b V c ] } T ∗ M p ∗ [ I a I b I c ] = [ V a V b V c ] ∗ M p T ∗ M p ∗ [ I a I b I c ] = [ V a V b V c ] ∗ [ I a I b I c ] \begin{split} \begin{bmatrix}Vα&Vβ\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}Iα\\Iβ\end{bmatrix} &= \{Mp* \begin{bmatrix}Va\\Vb\\Vc\end{bmatrix}\}^T*Mp*\begin{bmatrix}Ia\\Ib\\Ic\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}Va&Vb&Vc\end{bmatrix}*{Mp}^T*Mp*\begin{bmatrix}Ia\\Ib\\Ic\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}Va&Vb&Vc\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}Ia\\Ib\\Ic\end{bmatrix} \end{split} [VαVβ]∗[IαIβ]={ Mp∗ VaVbVc }T∗Mp∗ IaIbIc =[VaVbVc]∗MpT∗Mp∗ IaIbIc =[VaVbVc]∗ IaIbIc
由此知： M p T ∗ M p = E {Mp}^T*Mp=E MpT∗Mp=E
令 M t = k 1 ∗ [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 k 2 k 2 k 2 ] Mt=k1*\begin{bmatrix} 1& -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2} &-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ k2&k2&k2 \end{bmatrix} Mt=k1∗ 10k2−2123k2−21−23k2 ，则有 M t T ∗ M t = E {Mt}^T*Mt=E MtT∗Mt=E
即： k 1 2 ∗ [ 1 0 k 2 − 1 2 3 2 k 2 − 1 2 − 3 2 k 2 ] ∗ [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 k 2 k 2 k 2 ] = E {k1}^2 *\begin{bmatrix} 1& 0& k2\\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} &k2\\ -\frac{1}{2} &-\frac{\sqrt{3}}{2}&k2 \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} 1& -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2} &-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ k2&k2&k2 \end{bmatrix}=E k12∗ 1−21−21023−23k2k2k2 ∗ 10k2−2123k2−21−23k2 =E
得： k 1 = 2 3 k1=\sqrt{\frac{2}{3}} k1=32, k 2 = 1 2 k2=\sqrt{\frac{1}{2}} k2=21
那么恒功率变换矩阵
M p = 2 3 ∗ [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] Mp=\sqrt{\frac{2}{3}}*\begin{bmatrix} 1& -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2} &-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{bmatrix} Mp=32∗[10−2123−21−23]
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