坏掉的机器人

坏掉的机器人

科技前沿 • 2025-03-02 14:47 • 阅读 49

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

算法分析：
有后效性dp。dp方程很好推，但是状态之间有后效性，需要用高斯消元同时求出各个状态。裸的高斯消元时间复杂度为 $O(nm^2)$ ，超时。仔细观察，每行数据只有2到3个非0，因此不需要套模板，直接消掉就可以。

原先的矩阵类似如下，x是占位符，非0。z是常数。

$\begin{bmatrix} x & x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & z\\ x & x & x & 0 & 0 & 0 & 0 & z\\ 0 & x & x & x & 0 & 0 & 0 & z\\ 0 & 0 & x & x & x & 0 & 0 & z\\ 0 & 0 & 0 & x & x & x & 0 & z\\ 0 & 0 & 0 & 0 & x & x & x & z\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & x & x & z\\ \end{bmatrix}$
从上往下开始消，每行留两个未知数。

$\begin{bmatrix} x & x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & z\\ 0 & x & x & 0 & 0 & 0 & 0 & z\\ 0 & 0 & x & x & 0 & 0 & 0 & z\\ 0 & 0 & 0 & x & x & 0 & 0 & z\\ 0 & 0 & 0 & 0 & x & x & 0 & z\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & x & x & z\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & x & z\\ \end{bmatrix}$

再从下往上消，每行留一个未知数。

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$\begin{bmatrix} x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & z\\ 0 & x & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & z\\ 0 & 0 & x & 0 & 0 & 0 & 0 & z\\ 0 & 0 & 0 & x & 0 & 0 & 0 & z\\ 0 & 0 & 0 & 0 & x & 0 & 0 & z\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & x & 0 & z\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & x & z\\ \end{bmatrix}$

这样就化成了简化阶梯型矩阵。

需要注意边界 $m$ $=$ $1$ 的情况。

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using namespace std; int n, m; double f[1005][1005], b[1005][1005]; void gauss(int hang) { 
    // 从上往下消  for (int i = 1; i < m; ++i) { 
    double r = b[i+1][i] / b[i][i]; for (int k = i; k <= i + 2 && k <= m; ++k) b[i+1][k] = b[i+1][k] - r * b[i][k]; b[i+1][m+1] = b[i+1][m+1] - r * b[i][m+1]; } // 从下往上消  for (int i = m; i > 1; --i) { 
    double r = b[i-1][i] / b[i][i]; for (int k = i; k >= i - 1 && k >= 1; --k) b[i-1][k] = b[i-1][k] - r * b[i][k]; b[i-1][m+1] = b[i-1][m+1] - r * b[i][m+1]; } for (int i = 1; i <= m; ++i) f[hang][i] = b[i][m+1] / b[i][i]; } int main() { 
    scanf("%d%d", &n, &m); int x, y; scanf("%d%d", &x, &y); // for (int j = 1; j <= m; ++j) f[n][j] = 0; if (m == 1) { 
    for (int i = n - 1; i >= 1; --i) f[i][1] = f[i+1][1] + 2; }else { 
    for (int i = n - 1; i >= 1; --i) { 
    memset(b, 0, sizeof(b)); b[1][1] = 2; b[1][2] = -1; b[1][m+1] = f[i+1][1] + 3; int hang = 1; for (int k = 2; k < m; ++k) { 
    ++hang; b[hang][k-1] = -1; b[hang][k] = 3; b[hang][k+1] = -1; b[hang][m+1] = f[i+1][k] + 4; } b[m][m-1] = -1; b[m][m] = 2; b[m][m+1] = f[i+1][m] + 3; // m个方程，m个未知数为b[i][j], j属于[1,m]  gauss(i); } } printf("%.4lf\n", f[x][y]); return 0; }

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总结与反思：

高斯消元目标是化成简化阶梯型矩阵，如果矩阵有特点，可以考虑其他方法，不用拘泥于形式。
考虑转移方程时，要再思考下，特殊情况能否适应该方程，比如此题m为1时就不适应。

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