2025年数理逻辑—命题符号化及联结词

科技前沿 • 2025-04-06 13:36 • 阅读 37

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从以上两个定义可知，判断一个句子是否为命题，首先要看它是否为陈述句，然后在看它的真值是否唯一。

对命题有关概念的部分名词解释：

命题常项与变项的定义：
对于简单命题来说，当它的真值是确定的，就称该命题为命题常项(命题常元)；当它的真值是不确定的，就称该命题为命题变项(命题变元)。

简单命题(原子命题)的定义：
无法再分解为更简单陈述句的陈述句，即最简单的陈述句。例如:“２是素数”、“雪是黑色的”。

命题符号化与命题常项与变项举例：
为了方便表达，通常会使用英文小写字母来表示简单命题。
命题常项举例：

此时的 $p$ 、 $q$ 就可以称为命题常项。
显然有，命题常项 $p$ 是真命题，命题常项 $q$ 是假命题。

命题变项举例：

类似这种真值不确定的陈述句就称为命题变项，通常也用小写字母表示。但是需要注意的是，命题变项不是命题。

由简单命题用联结词联结而成的命题称为复合命题。复合命题是命题逻辑的主要研究对象。

例如：

设有命题 $p$ 和 $q$ ，它们之间可用的联结词按优先级从高到第在表格中进行说明：

完备集的定义： 设 $S$ 是一个联结词集合，若任一真值函数都可以用仅含 $S$ 中的联结词的命题公式表示，则称 $S$ 为完备集(全功能集)

完备集：
$\{\lnot,\land,\lor\}$ 、 $\{\lnot,\land\}$ 、 $\{\lnot,\lor\}$ 、 $\{\lnot,\to\}$ 、 $\{\uparrow\}$ 、 $\{\downarrow\}$