目录
集合论
集合的定义与表示
集合与集合的关系
真子集
空集
幂集
集合的运算
交并补
集合恒等式
二元关系
有序对与笛卡尔积
有序对
笛卡尔积
逆与合成
集合的基数
集合论
集合的定义与表示
集合的直观理解：由离散个体组成的整体称为集合，称这些个体为集合的元素
常见的数集：N、Z、Q、R、C等分别表示自然数、整数、有理数、实数、负数集合
集合的表示法：
1.枚举法---通过列出全体元素来表示
🌰：自然数集和N={0,1,2....}
2.谓词法---通过谓词概括集合元素的性质
🌰：S={x|x是实数，x^2-1=0}
集合元素具有的性质：
- 无序性---元素列出的顺序无关
- 相异性---集合的每个元素只计数一次
- 确定性---对于任意元素和集合，都能确定这个元素是否属于该集合
- 任意性---集合的元素也可以是集合
元素与集合的关系-----隶属关系：∈（属于）、∉（不属于）
集合与集合的关系
对于两个集合A与B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作 A⊆B 或 B⊇A，读作“A含于B”（“或B包含A”）。也就是说，A是B的子集，即： 任取x∈A ,总有 x∈B。
当A不是B的子集时，记作A⊈B（或B⊉A）。
真子集
对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且A不等于B ，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A⫋B。
A是B的真子集：A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A。即 A⫋B <=> 任取x∈A ,总有x∈B，但存在 y∈B ，
讯享网 。
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。即A=B<=>A⊆B 且 B⊇A。
空集
不含任何元素的集合称为空集，记作 Φ 。
幂集
定义：P(A). = {x|x⊆A}
幂集的计数：2^n
集合的运算
交并补
定义
图示
集合恒等式
集合恒等式只涉及一个运算的算律
涉及两个运算的算律
涉及补运算的算律
涉及全集和空集的算律
二元关系
有序对与笛卡尔积
有序对
定义：由两个元素x、y，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对，记作<x,y>
性质
笛卡尔积
定义：设A、B为集合，A与B的笛卡尔积记作AXB，且AXB={<x,y>|x∈A∧y∈B}
🌰：
二元关系的表示：集合表示法、图示、矩阵表示
逆与合成
关系的五种性质
- 自反性与反自反性
设R为A上的关系
例1】设A＝｛1，2，3，4｝，下列几个是A上的二元关系。
R1={<1，1>，<1，2>，<2，1>，<2，2>，<3，4>，<4，1>，<4，4>}；
R2={<1，1>，<1，2>，<2，1>}；
R3={<1，1>，<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，2>，<3，3>，<4，1>，<4，4>}；
R4={<2，1>，<3，1>，<3，2>，<4，1>，<4，2>，<4，3>}；
R5=(<1，1>，<1，2>，<1，3>，<1，4>，<2，2>，<2，3>，<2，4>，<3，3>，<3，4>，<4，4>}；
R6={<3，4>}。
解: 关系R3，R5是自反的，因为它包括所有形如<a，a>的序对。关系R4，R6是反自反的，因为它不包括任何形如<a，a>的序对。
而关系R1，R2既不是自反的，也不是反自反的。因为R1中包含<1，1>，<2，2>，<4，4>，但不包含<3，3>；R2中包含<1，1>.但不包含<2，2>，<3，3>，<4，4>。
自反性和反自反性可以在关系图和关系矩阵上非常直观地反映出来。
- 对称性与反对称性
- 传递性
集合的基数
参考
集合间的基本关系 - 知乎
离散数学中关于自反与反自反的通俗解释_百度知道
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