2025年【高级微观经济学】利润最大化

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一、目标函数：利润最大化

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二、利润最大化必要条件

1、内点解

（1）单要素情况：

（2）双要素情况：

2、角点解：

即存在投入水平为0的要素。即X>=0。我们结合该约束条件构建拉格朗日函数：

可知，当投入生产要素为0时，其边际产出价值： $p*f_{i}(X^{*})$ 必然小于该要素价格 $\omega$ 。

注意：这里的p为产品价格， $f_{i}(X^{*})$ 为边际产量，两者相乘为边际价值。

三、要素需求函数的性质

1、厂商要素需求：

$\mathbf{x}(p, \mathbf{w})$ ; 厂商产品供给： $y(p, \mathbf{w}) = f(\mathbf{x}(p, \mathbf{w}))$ 。

产品供给为要素需求的函数；要素需求为要素价格、产品价格的函数。

2、要素需求函数 $\mathbf{x}(p, \mathbf{w})$ 是要素价格的减函数

（1）利润最大化的一二阶必要条件

（2）一阶必要条件等式对要素价格 $\omega$ 求导，得

又已知二阶必要条件等式

因此，要素需求函数对要素价格 $\omega$ 的导数小于0，即要素需求是要素价格的减函数。

3、要素需求函数 $\mathbf{x}(p, \mathbf{w})$ 为产品价格的增函数

（1）同样根据利润最大化的一二阶必要条件：

（2）等式(2.8)对产品价格p求导：

整理得，

又根据一阶必要条件知 f'>0

根据二阶必要条件知 f''<0 ，得

可知要素需求函数为产品价格的增函数。

4、双要素情况：要素需求为其价格的减函数

（1）根据利润函数对产品价格求一阶导：

$pf(\mathbf{w}) - \mathbf{w} \mathbf{x}$

（2）对要素1价格 $w_{1}$ 求一阶偏导：

（3）对要素2价格 $w_{2}$ 求一阶偏导：

（4）写成矩阵形式：

求逆，得

已知利润最大化的二阶必要条件为：生产函数的海赛矩阵为半负定的

因此得等式左侧矩阵为半负定的，其主对角线元素为负值，即：

得要素需求为其价格的减函数。

5、双要素情况：要素价格的交叉效应对称

又知生产函数的海赛矩阵为对称矩阵，即f12=f21，因此左侧矩阵同样为对称矩阵，得：

因此，要素i需求量对要素j价格的弹性等于要素j需求量对要素i价格的弹性，即要素价格的交叉效应对称。

四、利润函数

将厂商所能达到的最大利润定义为其利润函数

1、利润函数的性质

（1） $\pi (p, \mathbf{w})$ 是产品价格p的增函数，是每一要素价格 $w_{i}$ 的减函数；

（2） $\pi (p, \mathbf{w})$ 是 $(p, \mathbf{w})$ 的一次齐次函数：；

（3） $\pi (p, \mathbf{w})$ 是 $(p, \mathbf{w})$ 的凸函数。

2、证明： $\pi (p, \mathbf{w})$ 是产品价格p的增函数

（1）设要素需求函数 $\mathbf{x}(p^{i}, \mathbf{w})$ ，设 $p^{1} \leqslant p^{2}$

（2）根据利润函数定义：

$\pi(p^{i}, \mathbf{w}) = p^{i}f(\mathbf{x}(p^{i}, \mathbf{w})) - \mathbf{w}\mathbf{x}(p^{i}, \mathbf{w})$

知 $\pi(p^{2}, \mathbf{w}) = p^{2}f(\mathbf{x}(p^{2}, \mathbf{w})) - \mathbf{w}\mathbf{x}(p^{2}, \mathbf{w})$

（3）因为 $\mathbf{x}(p^{2}, \mathbf{w})$ 为利润最大化的解，因此 $\pi(p^{2}, \mathbf{w})$ 大于任何利润函数，注意只改变X(p,w)的值

得 $p^{2}f(\mathbf{x}(p^{2}, \mathbf{w})) - \mathbf{w}\mathbf{x}(p^{2}, \mathbf{w}) \geqslant p^{2}f(\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w})) - \mathbf{w}\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w})$

（4）又根据 $p^{1} \leqslant p^{2}$ 知， $p^{2}f(\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w})) - \mathbf{w}\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w}) \geqslant p^{1}f(\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w})) - \mathbf{w}\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w})$ ，

即 $p^{2}f(\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w})) - \mathbf{w}\mathbf{x}(p^{1}, \mathbf{w}) \geqslant \pi(p^{1}, \mathbf{w})$

（5）最终得， $\pi(p^{2}, \mathbf{w}) \geqslant \pi(p^{1}, \mathbf{w})$ ，证明 $\pi(p^{i}, \mathbf{w})$ 为产品价格p的增函数。

3、证明： $\pi (p, \mathbf{w})$ 是每一要素价格 $w_{i}$ 的减函数

（1）同理设 $\mathbf{w}^{2} \geqslant \mathbf{w}^{1}$

$\pi(p, \mathbf{w}^{i}) = pf(\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{i})) - \mathbf{w}^i\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{i})$

得 $\pi(p, \mathbf{w}^{1}) = pf(\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{1})) - \mathbf{w}^1\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{1})$

因为 $\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{i})$ 为利润最大化的解，因此其利润函数 $\pi(p, \mathbf{w}^{1})$ 大于任何利润，仍然只改变X(p,w)的值

$pf(\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{1})) - \mathbf{w}^1\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{1})\geqslant pf(\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{2})) - \mathbf{w}^1\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^2)$

得 $pf(\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{2})) - \mathbf{w}^1\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^2) \geqslant pf(\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^{2})) - \mathbf{w}^2\mathbf{x}(p, \mathbf{w}^2)$