一、牛顿 - 莱布尼茨公式（微积分的基本公式）：
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F(b)-F(a) ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
其中，函数F(x) 是连续函数f(x)在区间[a,b]上的原函数。
二、辛普森（Simpson）积分公式
1.Simpson积分公式是将区间端点和区间中点三个点近似看成抛物线上对应的三个点，以二次曲线逼近的方式取代矩形或梯形积分公式，以求得定积分的数值近似解。
∫ a b f ( x ) d x ≈ ( b − a ) 6 ∙ [ f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ] \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\approx\ \ \frac{(b-a)}{6}\bullet\left[f\left(a\right)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right] ∫abf(x)dx≈ 6(b−a)∙[f(a)+4f(2a+b)+f(b)]
2．Simpson积分公式可以利用微积分基本公式推导出来，推导过程如下：
设置一个一元二次函数
f ( x ) = a x 2 + b x + c f(x)=ax^2+bx+c f(x)=ax2+bx+c
求积分为
F ( x ) = ∫ 0 x f ( x ) = a 3 x 3 + b 2 x 2 + c x + d F\left(x\right)=\int_{0}^{x}{f(x)}=\ \frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx+d F(x)=∫0xf(x)= 3ax3+2bx2+cx+d
那么
∫ L R f ( x ) d x = F ( R ) − F ( L ) = a 3 ( R 3 − L 3 ) + b 2 ( R 2 − L 2 ) + c ( R − L ) = a 3 ( R 3 − L 3 ) + b 2 ( R 2 − L 2 ) + c ( R − L ) = ( R − L ) [ a 3 ( R 2 + L 2 + L R ) + b 2 ( R + L ) + c ] = ( R − L ) 6 ( 2 a R 2 + 2 a L 2 + 2 a R L + 3 b R + 3 b L + 6 c ) = ( R − L ) 6 { ( a L 2 + b L + c ) + ( a R 2 + b R + c ) + 4 [ a ( L + R 2 ) 2 + b ( L + R 2 ) + c ] } = ( R − L ) 6 [ f ( L ) + 4 f ( L + R 2 ) + f ( R ) ] \begin{align} \int_{L}^{R}{f\left(x\right)\ }dx \nonumber &=\ F\left(R\right)-F\left(L\right)\\ \nonumber &=\frac{a}{3}{(R}^3-L^3)+\frac{b}{2}{(R}^2-L^2)+c(R-L)\\ \nonumber &=\frac{a}{3}{(R}^3-\ L^3)+\frac{b}{2}{(R}^2-L^2)+c(R-L)\\ \nonumber &=\ (R-L)\left[\frac{a}{3}{(R}^2+\ L^2+LR)+\frac{b}{2}(R+L)+c\right]\\ \nonumber &=\frac{\left(R-L\right)}{6}(2aR^2+2aL^2+2aRL+3bR+3bL+6c)\\ \nonumber &=\frac{\left(R-L\right)}{6}\left\{\left(aL^2+bL+c\right)+\left(aR^2+bR+c\right)+4\left[a\left(\frac{L+R} {2}\right)^2+b\left(\frac{L+R}{2}\right)+c\right]\right\}\\ \nonumber &=\frac{\left(R-L\right)}{6}[f(L)+4f(\frac{L+R}{2})+f(R)]\\ \nonumber \end{align} ∫LRf(x) dx= F(R)−F(L)=3a(R3−L3)+2b(R2−L2)+c(R−L)=3a(R3− L3)+2b(R2−L2)+c(R−L)= (R−L)[3a(R2+ L2+LR)+2b(R+L)+c]=6(R−L)(2aR2+2aL2+2aRL+3bR+3bL+6c)=6(R−L){
(aL2+bL+c)+(aR2+bR+c)+4[a(2L+R)2+b(2L+R)+c]}=6(R−L)[f(L)+4f(2L+R)+f(R)]
有了 Simpson积分公式，一个自然的想法是把积分区间拆成多个小区间后求和，但是分成区间的个数和长度因积分区间和精度要求甚至被积函数而异。
本文不在从数学角度进行误差分析，不是本文的重点。而从计算机运算的角度，精度的控制可以通过设定一个能够容忍的误差作为最终的返回情况，基于二分设计出递归的计算流程，即所说的Simpson自适应算法。
Simpson(辛普森)积分公式
Simpson(辛普森)积分公式一 牛顿 莱布尼茨公式 微积分的基本公式 a b f x d x F
大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。
【复杂网络】网络科学导论学习笔记
上一篇
2025-03-24 12:14
三段式状态机_再思考状态机
下一篇
2025-01-24 10:15
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容，请联系我们，一经查实，本站将立刻删除。
如需转载请保留出处：https://51itzy.com/kjqy/124751.html