第二十三篇 非线性方程组的修正牛顿拉普森法
在整个牛顿-拉夫森算法中，由于需要不停地求矩阵的逆，所以如果n变大，意味着每次迭代都需要大量的计算。此外，由于系数矩阵通常是非对称的，而且每次迭代都会改变系数矩阵的值，所以因式分解法也没有任何方便可言。修正的Newton-Raphson方法目的是减少每次迭代执行的计算量，但缺点是需要更多的迭代次数来实现收敛。不需要每次迭代都更新和求逆雅可比矩阵，可以周期性地更新它，比如m次迭代更新一下。
一个相对极端但简便的方法是，只计算并求解一次雅可比矩阵的逆，对应于猜测的初始值。这与之前提到过的对单根的求解策略相类似。正常情况，它需要的迭代次数比完整的牛顿-拉夫森过程更多。在实践中，迭代次数和计算复杂二者的平衡还需要进一步衡量。
计算实例：
使用修正牛顿拉普森方法去发现方程在x=-2.4和y=-0.1附近的根
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首先根据下表把方程重新排列成标准形式
以上篇提到的雅可比矩阵对上面公式求微分
对小型非线性方程组，很容易取得雅可比矩阵的逆，为
当初始猜测值x1=-2.4和x2=-0.1时，
在修正牛顿拉普森方法中，[J]矩阵的逆取恒定值。
第一次迭代，初始猜测值x1=-2.4和x2=-0.1，因此
因此
第二次迭代：
更新值为
之后
因此
第三次迭代：
更新值
程序如下:
其中有一个主程序和一个检查是否收敛的子程序checkit，还有两个函数程序，分别为函数的表达式，和函数导数的表达式
主程序：
#非线性方程组的修正牛顿拉普森法 import numpy as np import B n=2;tol=1.0e-5;limit=100 x1=np.zeros((n,1)) inv=np.zeros((n,1)) x0=np.ones((2,1),dtype=np.float) print('开始的猜测值',x0[:,0]) print('前几次迭代值') iters=0 def f38(x): f38=np.zeros((2,1),dtype=np.float) f38[0,0]=2.0*x[0,0]**2+x[1,0]**2-4.32 f38[1,0]=x[0,0]**2-x[1,0]**2 return f38 def f38dash(x): f38dash=np.zeros((2,2),dtype=np.float) f38dash[0,0]=4.0*x[0,0] f38dash[1,0]=2.0*x[0,0] f38dash[0,1]=2.0*x[1,0] f38dash[1,1]=-2.0*x[1,0] return f38dash inv=np.linalg.inv(f38dash(x0)) while(True): iters=iters+1 x1[:,0]=x0[:,0]-np.dot(np.transpose(f38(x0)),inv) if B.checkit(x1,x0,tol)==True or iters==limit: break x0[:,0]=x1[:,0] if iters<5: print(x0[:,0]) print('迭代到收敛的次数',iters) print('解',x0[:,0]) 讯享网
讯享网checkit
def checkit(loads,oldlds,tol): #检查多个未知数的收敛 neq=loads.shape[0] big=0.0 converged=True for i in range(1,neq+1): if abs(loads[i-1,0])>big: big=abs(loads[i-1,0]) for i in range(1,neq+1): if abs(loads[i-1,0]-oldlds[i-1,0])/big>tol: converged=False checkit=converged return checkit 终端输出结果：
)
程序结果与上篇牛顿拉普森的计算实例结果一致。
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