数学a是什么意思(α在数学里代表什么)

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数学表达中的“三大纪律”和“八项注意”

冯岳峰

数学题答案怎么写，一直是困扰很多学生的棘手问题。

有的怕写不全，不管有用没用，写了一大卷，却无济于事，多是废话。各种情况屡见不鲜。

其他的，比如“撇水”，只是罗列了一些“中途结论”，但是如何得出这些结论，答案里很难找到。这是解决问题的另一个极端，但有相当大的市场，也不乏崇拜者。

有些人在向别人指出他的回答不严谨时，往往会掉以轻心，甚至反驳说:“你说这样不行，给我举个反例。”众所周知，所谓的“没有”并不是说你答案中的结论是错误的，而是你还没有搞清楚结论的依据。既然结论本身是对的，谁能举出反例？！这个问题要靠你来证明。当然，要看你自己“证明”了。而且，你给出的理由一定要让别人信服，基础是读者不会问你“为什么”。

笔者认为，写一个简短的回答是非常容易的，尤其是所谓的“秒杀”，一句话就能解释清楚。不信你看看下面这个作者创造的“万能证明法”，适用于所有证明题。

普适证明法:因为有条件1，条件2，加上条件3，结合定理××，结论成立。

你说上面的证明有问题？那给我举个反例！

哈哈，你是被噎死的吧？

上面的答案你当然不会承认！鉴于此，本文谈谈如何规范数学问题的答案。

毋庸置疑，数学表达依赖于一定的语言和文学基础，这就需要一定的基本语言表达能力。其实数学表达式有一些其他表达式共有的基本要求，比如逻辑清晰、层次分明、用词准确、符号规范等。

除了上述基本要求外，数学表达式还应遵循以下“潜规则”。这些规则虽然没有硬性规定，但早已约定俗成。在此，笔者借用伟人的话，总结为三大纪律八项告诫。

值得指出的是，这些“潜规则”只是笔者在数学学习中获得的一些感悟，可能有失偏颇，谬误在所难免。请指正。

1.三个“纪律”

1.学科，从“0”开始

从“0”出发是指数学解法中的推理只能从原有的基础出发，不能利用人们已经讨论过的问题的结论。

写“解决方案”和写论文是有区别的。写论文可以“站在别人的肩膀上”，从半空开始。写解决方案的时候，只能站在平地上，从“0”开始。

事实上，你所描述的所有众所周知的结论，对于读者来说，都是自动“默认”为未知的。作为问题的“解决方案”，无疑需要重复前面的工作。

另外，题中的所有条件一般都在解法中遍历。这些条件是推理的起点，每个条件在整个解中至少要出现一次。

2.纪律是“必然的”

数学判断一定是必然的结论。我们知道，所谓A推出B，就是有A就一定有B，也就是说B的成立是确定的，而不是“可能成立也可能不成立”。

如果A为真，A结论B可能为真，也可能不为真，后续推理需要用到B结论，就要以“B结论是否出现”为依据进行分类讨论。

比如鸽子洞原理的简单情况:如果将m+1个元素分组为M个集合(抽屉)，那么一定有一个抽屉至少有2个元素。这里“有一个抽屉(至少)有2个元素”是必然结果。

对此，曾有同学问:会不会有三要素的抽屉？我们的回答是，当然有可能！但不是必然的，所以不可能是数学推理的结果。

如果需要使用三个元素的抽屉，需要分类讨论:(1)如果有三个元素的抽屉，那么……；(2)如果每个抽屉最多有2个元素，那么…

其实这种分类讨论是存在的。我们举个例子。

1.证明:任意5个整数的3之和一定能被3整除。

分析证明:从目标来看，所谓“能被3整除”就是模3有0以上，很自然的想到构造模3的余数抽屉。显然，如果抽屉里有三个数字，结论成立。但问题是，一个抽屉里可能没有三个数字。所以，我们需要在两种情况下讨论它:

(1)如果抽屉里有3个元素，这3个元素之和可被3整除，结论成立；

(2)如果每个抽屉中最多有2个元素，则每个抽屉中至少有一个数字。此时，从每个抽屉中取出一个数，这三者之和可被3整除，结论成立。

3.纪律严明，步步为营

这里所谓的“阵营”是理论基础，也就是说，每一步推理的结果都必须有直接充分的理由来保证。这些原因包括:定义、定理、原理、公理、公式、规则等。

数学表达最容易导致不严谨的地方就是直接写出相关结论而不给出理由。更何况有些“解”只是几个中间结论的累加。它们充其量只能算是一个解决问题的思路或暗示，而不是一个完整的解决方案。

另外，推理要经得起“断章取义”的检验，即截出任何一个完整的推理片段(不能默认加题的条件)，其逻辑推导仍然正确。

因断言理由不足而导致的解题错误时有发生。我们举个例子。

2.设凸四边形ABCD刚好有一个内角∠D为钝角，用一些直线把它分成N个钝角三角形，使凸四边形的四条边不包含不是A、B、C、D的钝角三角形的顶点验证:N满足的充要条件是n≥4。

分析证明:此题是1993年全国高中数学联赛的最后一题，但得分率相当低。其实这个问题并不难。关键是参赛选手没有掌握正确的思维方法，尤其是一些看似显而易见的结论需要严格证明却不容易表达。

先看必要性。要证明n≥4，就从对面，否则n=1，2，3。

当n=1时，四边形ABCD显然不能按要求分成n=1个钝角三角形，因为四边形不是三角形。所以n≠1。

当n=2时，四边形ABCD分成两个钝角三角形，这两个三角形必须用对角线相连。这是当年大部分玩家的推理方式——直接描述结论，不陈述理由。

当年的官方“评分标准”明确规定，没有任何叙述理由直接写“偶数对角线”的扣10分。笔者认为这一规定非常合理，强化了数学推理中“循序渐进”的必要性。

我们来看看为什么对角线是连在一起的。先介绍一下官方答案:考察原四边形ABCD的四条边在分三角形中的归属。原四边形的每条边都是分三角形中的一个，四条边被归为两个分三角形。从鸽子洞原理来看，一定有一个分三角形有原四边形的两条边，只能是原四边形的两条相邻边(因为三角形的任意两条边都有公共点)，所以必须用对角线连接。但此时的分割达不到要求，所以n≠2。

同样，可以证明n≠3。但当n≥4时，分割方法非常简单，省略。

下面是n≠2的另一种解法:因为一个四边形的内角之和是360，两个三角形的内角之和也是360，所以内角之和在分割中没有增加，所以没有新的顶点。

考察任何一条分割线，它的两个端点只能是一个四边形的两个顶点，而显然不是相邻的顶点(否则，连接的线段就是四边形的“边”，而不是分割线)，所以分割线就是四边形的对角线(底部省略)。

2.八个“音符”

(1)小心“不妨一套”

数学中的“假设”不是任意的，它的一个必要前提是被设定的对象必须存在。比如设A是满足题目要求的最小正整数。显然，允许这样假设的前提是有满足题目要求的正整数。如果这样的正整数不存在，最小的那个怎么设置？

另外，具有对称性的字母可以按顺序排列:假设A1≤A2≤…≤An；如果N个字母的位置对称旋转，可以假设a1=min{a1，a2，…，an}或者a1=max{a1，a2，…，an}。

如果问题的其他情况可以通过适当的代入转化为现在的情况，要说明具体的转化过程。比如“最好设置…(否则重新编号)”，“最好设置…(否则替换××)”等等。

(2)较少使用“明显成立”

在数学表达中，应尽量避免使用“明显成立”一词。事实上，“明显成立”的命题只包括以下三种情况:一是简单的不变成立的结论；二是屈指可数的对象，很容易一一验证；第三，是大家公认的客观事实。此外，还要说明命题的具体原因。

值得指出的是，甚至有少数对象，在没有仔细核实的情况下，就被刷成了“明显成立”，从而造成了时有发生的虚假猜想的“伪证”现象。

(3)不要使用“混搭”的表达方式。

数学的基本特征之一是符号语言。任何数学符号都有其特定的含义，所以正确使用这些符号是很有必要的。特别是有些符号必须和字母组合才能表达一个完整的意义，没有独立的意义。可以理解为“固定词组”，不能割裂，也不能和普通语言“混合”。把“这样的直线存在”写成“这样的直线”是违法的。

另外，尽量避免用口头语言来描述答案，比如“要使结论有效，只要a >: 0就可以了”，应该改成“要使结论有效，只需要a >: 0”，这样才符合数学表达式的写法。

(4)避免滥用“类似可得”

把问题逐一分成几种情况，是解决问题的常用方法，但最容易出现这样的错误:只处理一种情况，其他情况都用“同样原理可以得出”来搪塞。众所周知，“可得同一原理”有一个前提:如果将一些对象相应地替换为一些新的对象，而其他论证保持不变，结论同样有效，则可采用同一原理，省略其他情况的推理过程。另外，如果证明或计算过程各方面都相同，但改变了具体对象和变形方式，则可以使用“类似可用”。

(5)合理使用逻辑连接词

在数学表达中，经常使用以下三种逻辑连词。这些逻辑连词的用法各不相同，要注意用词得当。

是假设连词，如:因为…，所以…；如果(如果)…，那么…；得到(知道，拥有)…。虚词和转折词是固定搭配，不能随意改变。比如“因为…，那么…”，“因为…，所以…”等推理表达不伦不类，读起来很别扭。

二是承接连词，如:So…；因此，(和)…；从而…；因此…这些词经常用在一个新的结论之后，其作用是将上述结论与相关条件一起进行进一步的推理。

第三种是总结连词，如:因此……；综上所述等。这些词通常只是用来概括最后的结论(综合几个结果得出的结论)，基本都用在文章的结尾。

(6)灵活运用两种变形

数学变形可分为断言变形和非断言变形。

断言变形是指包含逻辑符号(如等号、不等号、相似、同余、同余、关联(如邻接、共点、共线性等)的公式的变形。)来描述两者之间的关系。其他公式的变形称为非断言变形。比如利用方程基本性质的变形就是断言变形，利用分式基本性质的变形就是非断言变形，多项式因式分解也是非断言变形。

如果变形是可逆的，则称为等效变形，否则为非等效变形。非等效变形往往需要对所得结果进行限制、筛选、检查或补充。

比如求解不等式1/x≤1，可以直接去掉分母:不等式两边乘以x2得到x≤x2，求解可以得到x≤0或者x≥1。

但这个答案是错误的，因为上面的变形是非等价变形，原来的不等式隐式地限制了x≠0，变形后需要补充。

正确的表述是:不等式两边乘以x2得到x≤x2(x≠0)，得到x <或0 x≥1。

有时候一道数学题只能往一个方向变形，有时候两个方向都可以。比如证明一个不等式，如果从不等式的一边开始，通过缩放变形到不等式的另一边，就是非断言变形；如果我们从一个已知的不等式出发，利用不等式的基本性质，把当前的不等式一步步转化为目标不等式，我们就采用断言变形。

(7)准确运用串行和并行推理。

所谓串联推理，是指单线推理，即对一个公式反复变形，相继得出一些相关结论。其表现形式有:因为…，所以…，所以…，所以…

可谓ABC……

所谓并行推理，是指多线推理，即综合几个串联推理的结果，得出新的相关结论。它的表现形式是:因为…，所以…；因为…，所以…因此…或者:从…，得到…；从…，不得不…因此…

推出符号可以描述为。

连续的“所以”的叠加，有时是隐含的平行推理。此时，第一个“所以”是上式的结果，下一个“所以”是综合上式的结果。

在数学表达中，要特别注意区分不同形式的“所以”表达的不同含义。

在并行推理中，使用假设命题进行推理更加复杂。如果一个命题包含条件和结论两部分，我们称之为假言命题。用假设命题推理，需要先验证“假设”，然后才能得出相应的结论。比如函数单调性的应用，就是典型的利用假设命题进行推理。

假设f(x)在(0，+∞)上增加，可以进行如下推理:因为0

(8)正确选择单独报表和合并报表。

在分类讨论中，不同的分类对象导致解题结论的表达方式不同。

一般来说，如果对主要元素以外的字母进行分类讨论，则应根据所讨论字母的不同值对结果进行分类表示。

比如求解不等式ax : 0时，不等式的解是x

如果讨论主要字母的分类，结果要结合字母不同取值得到的不同结果，才能得到完整的答案。

比如求解不等式1/x≤1，可以分类讨论求解:当x >: 0时，不等式去分母，变成x≥1；当x < 0时，不等式为常数。所以原不等式的解集是{x | x <或0 x≥1}(组合表达式)。

总的来说，“三大纪律”是数学表达的基本要求。违反其中任何一条，答案都会不合格，通常需要大幅度修改，甚至整段否定。

“八个注意”是对数学表达更高层次的要求。如果违反了其中的一条，解决方案就会出现漏洞，需要进行适当的修补。

不用多说，以上仅为作者观点，谬误在所难免。欢迎读者评论。