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-天才的基本法则
看问题有很多角度。比如对于三角恒等式SIN α+COS α = 1,我们可以用大家熟悉的勾股定理,用等号把两者联系起来。通常认为这个重要的三角恒等式可以用勾股定理来证明。
但我们不是用勾股定理,而是想讨论用三角函数在勾股定理的400多种证明方法中再增加一种证明。
从预备知识讲起
我们用图形来帮助解释正弦函数的定义:假设从单位圆(单位长度半径为1的圆)圆周上的点P出发,沿圆移动一个角度X后得到点P,从P到P所在直径的垂线为y。
由于实数Y是随着实数X的确定而确定的,所以Y是X的函数,这是一个常见而重要的初等函数,方便约定一个符号。由于历史原因,我们同意将这种关系表述如下
y=sin x
同样,如果定义了其他三角函数的对应关系,即“实数→实数”,那么就定义了它们的特殊函数符号。
接下来,我们来看看锐角三角函数。请看下图:
图中介绍了六个三角函数,但重要的只有三个,分别是正弦函数、余弦函数和正切函数。在科学计算器上,只有以上三个函数能找到钥匙。
欧拉用单位圆上的函数线定义了三角函数。请看下图:
单位圆的圆心位于平面直角坐标系的原点,单位圆与X轴相交于A点和A点& # 39;,与Y轴相交于点B and B & # 39;。角度α的起始边在X轴上,终止边分别与单位圆和通过A点的单位圆的切线相交于P点和T点。
由函数行定义,结果如下:
Sin α=MP(正弦线)
Cos α=OM(余弦线)
Tan α=AT(正切)
写出上述三个三角函数所表示的三角形两边的比值:
正弦=斜边的对边。
余弦=邻边比斜边
切线=相对相邻。
仔细对比后,你会发现三者中的任何两者都有一个共同的边缘。这也暗示了三者之间必然存在着密切的关系。
事实就是如此。请看下面两个非常重要的基本公式:
(1) sin α+cos α=1
(2) tan α=sin α÷cos α
如何证明公式(1)?公式(2)可以从函数的定义导出。公式(1)的证明请见下一单元。
用勾股定理证明公式(1)
先说简单的证明方法,下一单元讲勾股定理的三角函数证明方法。
从勾股定理可以导出公式(1)。流程见下图:
①公式是勾股定理。将公式(1)两边同时除以C,得到公式(3)。公式(4)是课本上的定义。将其代入公式(3)得到公式(1)。
预备知识:用圆内的弦定义正弦
有人想知道sine的名字是怎么来的?下图所示正弦函数的定义是一个合理的解释。
在直径为1的圆中,圆周角α所对的弦长称为角α的正弦,记为sin α。
如图所示,弦BC是圆周角α的正弦,弦CD是圆周角β的正弦。
这个定义是合理的,因为相等的圆周角是同一圆中相等的弦。根据这个定义,我们可以推出正弦函数的性质、正弦定理和一系列三角恒等式。
上图所示的圆内接四边形有许多重要的几何性质。比如可以用两条对角线互相连接构成两对相似的三角形,等等。
正弦和角公式的证明
现在让我们使用上图来证明正弦和角度公式:
当α和β是锐角时,
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
因为四边形ABCD的外接圆直径为1,所以有
sin(α+β)=BD=BE+ED
=BCcos β+DCcos α
=sin αcosβ+cos αsin β
三角函数的归纳公式:
sinα= cos(90?α)
cos α=sin (90 -α)
需要背吗?不需要。它告诉我们,角α的余角的正弦叫做余弦,正弦函数和余弦函数是互为互补的函数。
在纸上画一个直角三角形,标上A,B,C,就可以通过正弦和余弦的定义推导出来。
勾股定理的三角证法
根据上述归纳公式和正弦和角公式,以α+β= 90°为特例,可以推导出公式(1)。
sin(α+β)=sin 90 =1
=sin αcos β+cos αsin β
=sin αcos(90 -α)+cos αsin(90 -α)
=sin α+cos α
即公式(1):
sin α+cos α=1
请注意,上面的论证没有使用勾股定理,而是用三角函数证明勾股定理。
因为函数线PM,OM,OP形成直角三角形,PM=sin α,OM=cos α,OP=1,证明公式(1)等价于证明勾股定理。
总结
值得注意的是,我们在前面演示正弦和角度公式时,并没有像通常的教科书证明那样要求α+β为锐角。实际上,上述论证可以推广到α+β在0° ~ 180°之间的一般情况。
而且正弦差角公式的证明方法也差不多。请看下图:
请注意
sin(α-β)=CD=DE-CE
去做吧。
正弦和差角公式意义重大,必须彻底掌握。
有了正弦和微分角公式,可以编制正弦函数表,推导其他三角形公式,推导各种归纳公式。
诱导公式归纳公式
上图是各种归纳公式。有这么多令人困惑的公式!现在你大概会明白为什么很多人在学习三角函数的时候会有挫败感了。
所以,不要背。这些公式可以从正弦和差角公式中导出。
另一种方法是根据欧拉对任意三角函数的定义,在纸上画一个平面直角坐标系和一个单位圆,自己推导。详见曹焕东追光课。
学会用不同的方法解决问题。
科学尚未普及,媒体仍需努力。感谢阅读,再见。
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