什么叫做自然数(自然数包括哪些)

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作者|李开洲

来源|摘自李开周著《武术数学》序言，化学工业出版社。

就人类整体而言，思想是不断进步的，后人通常会在知识上超越前人，我们的零知识也是如此。七八十年代开始读书的朋友一定记得，那时候数学课都是教自然数的，都是从1开始的，1是最小的自然数。现在的孩子上小学了，但是数学老师会告诉他们最小的自然数是0。短短几十年，人们的认识从“零不是自然数”到“零是最小的自然数”又一次飞跃。

零是数字，零是整数。我们接受过基础教育，我们认为这些认识是自然而然的。其实零是自然数，所以这种理解不是那么自然。我们平时数来数去有多少东西，不都是从1开始的吗？没见过从0开始的。如果有人指着一堆苹果开始数:“0，1，2，3，4……”，大概会有人觉得他不正常。

1889年，意大利数学家朱塞佩·皮亚诺(1858-1932)提出了五个公理，可以描述如下:

公理1: 1是自然数；

公理2:每一个确定的自然数A后面都有一个确定的相邻数A’，也是自然数；

公理3: 1不是任何自然数之后的相邻数；

公理4:不同的自然数有不同的邻数；

公理5:关于自然数的任何命题，如果可以证明命题对1成立，并且可以证明对A也成立’当对自然数A成立时，那么这个命题对所有自然数都成立。

这五条公理被称为“皮亚诺公理”，其中第一、第三和第五条公理都是不假思索地把1当作最小的自然数。皮亚诺公理在当时数学体系中的应用，是数学大厦的一块基石。

在为钢琴数学大厦提供基石的同时，其他数学家也在为之贡献力量。19世纪末，在皮亚诺提出五个公理后不久，数学的一个主要分支“群论”发展到了一个关键时期。一些数学家用这个利器重新解剖整数和自然数，发现了一个非常危险的破绽:如果不把零放入自然数群，整数群就会变得不完整。所以这些数学家为了让数学体系自相矛盾，有逻辑，保证整个数学大厦固若金汤，就让零加入自然数的家族，成为最小的自然数。

在20世纪，一些数学教科书将零视为自然数，而另一些则坚持认为零不是自然数。时间越往后，教科书越会把零认定为自然数。在欧美数学界，主流观点是零是自然数。因此，1993年，中国国家技术监督局修订了“量和单位”国家标准，规定零为自然数。于是，我们的数学教材也做了相应的修改。结果00后新生代在零意识方面与国际接轨，70后80后的父母被甩在后面。于是，家长辅导孩子数学作业时，就会出现这样的对话:

“宝贝，最小的自然数是1。你这个问题写错了。”

“没有错。老师今天刚说零也是自然数！”

家长不信，查课本，果然！迷茫:“哎，有错吗？”看过这本书的爸爸妈妈不会有这样的困惑。

在本章的最后，我们来复习一些关于零的知识。

的最小自然数是0，不是1；

最小的个位数是1，不是0；

0既不是正数，也不是负数，它是唯一的中性数；

0是偶数；

0既不是质数，也不是合数；

任意数加或减0，值不变；

任意数乘以0，乘积为0；

任何不为0的数的0次方是1；

0不能是除数，任何被0除的数都没有数学意义；

0是小数位数中唯一的占位符，表示该位数是空；

0可以代表起点，比如一把尺子的起点刻度线都是0；

0可用于编号，如001、002…

0可以代表极限，比如0度以上，0度以下…

武术数学+武术物理+武术化学

作者:李开洲

出版社:化学工业出版社

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