圆台的表面积(圆台体积公式推导)「建议收藏」

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一.概念描述

现代数学:《数学大辞典·第一卷》中没有明确定义表面积，但有“总面积”的说法，即描述表面积的量及其计算公式。

棱柱、棱锥和锥台的总面积是指描述其表面积的一个量及其计算方法。它们总面积的计算方法是它们的侧面积和底面积之和。

圆柱体总面积是描述圆柱体表面积的量及其计算公式。直圆柱体的侧面面积和底部面积之和就是它的总面积。如果直圆柱体的底半径为R，高为H，那么它的总面积为S=2πr(h+r)。圆柱体的斜侧面面积和它的两个椭圆面积之和就是它的全面积。设母线长度为L，直线段的周长为C，底椭圆的长短半轴为A和B，斜圆柱体的总面积为S=Cl+2πab。

圆锥体总面积是描述圆锥体表面积的量及其计算公式。圆锥体的总面积等于其侧面面积与底面面积之和，其计算公式为S=πr(l+r)。

圆桌总面积是描述圆桌表面积的量及其计算公式。平台的总面积等于它的侧面积和它的两个底面积之和，所以S =π(rl+r & # 39；l+r2+r’2).其中l是平截头圆锥体的母线长度，r’和r分别是平截头圆锥体的上下底圆的半径。

小学数学:三维图形所能触及的所有面的面积之和，就是这个图形的表面积。小学的时候，我们学的长方体和正方体的表面积是它们的六个面之和。圆柱体的表面积是其侧面面积和两个底面面积的总和。小学不学圆锥的表面积。

二。概念解释

小学涉及的长方体、正方体、圆柱体的表面积，其实是它们的底面积和侧面积之和。当我们沿着高度展开长方体、正方体、圆柱体的侧面时，会发现它们展开后的侧面都是长方形。所以，曲面面积就是学生学过的长方形、正方形、圆形等几个平面图形面积的组合。

需要注意的是，这里所说的表面积是指在理想状态下，你可以触摸一个三维图形的每一个面，求每个面的面积之和。

在小学课本中，还有一些内容，如磁带盒(或火柴盒、肥皂盒)、纸箱等的包装。这些问题不是求一个三维图形的真实表面积，而是表面积的拓展和应用。

例如，有4个相同的长方体磁带。哪种方式包装最省料？(如下图所示)

再比如纸箱问题:一个长50cm、宽30cm、高20cm的水果盒，打开上下盖时，是一个长方体的纸筒(下图右图)。做这个水果盒需要多少硬纸板？

三。教学建议

在表面积的研究中，产生了许多优秀的教学案例。关于长方体、正方体和圆柱体的表面积，也可以采用同样的教学思想。以下以长立方体的表面积为例，提供教学设计供参考:

(1)“包装”教学设计

首先，教师要引导学生思考给三维图形穿上鲜艳的外套(可以是彩色的，也可以是用彩纸粘贴的)。这件外套怎么穿？在这个过程中，学生会主动解释立体图形的哪些面需要包装，才能披上一件亮丽的外衣。教师引导学生观察，发现自己正好在三维图形的表面上，这些表面构成了三维图形，让学生认识到这些表面就是三维图形的表面，它们的大小就是三维图形的表面积。

(2)“化立体为平面”的教学设计

人教版、北师大版、北京版等版本教材都增加了“三维图形发育图”的教学内容。三维图形的平面展开图有利于学生概念空的发展，可以帮助学生在三维与二维的相互转化中理解三维图形的曲面。课前，教师可以要求学生准备所需的三维图形；在课堂上，引导学生沿着三维图形的边缘进行切割，将其转化为平面图形。引导学生观察平面展开图，他们会发现正是这些展开的平面图形构成了一个立体图形。这些平面图形是学过的几何图形。三维图形的表面积可以通过计算这些平面图形的面积之和得到。

(3)“化平面为立体”的教学设计

除了上面提到的两种果汁设计，教师还可以采取制作模型的方式进行教学。老师可以给学生提供一些纸板，然后提议一起做一个长方体(立方体或圆柱体)的模型。在做的过程中，同学们会通过自己的实践发现，要做一个长方体，只需要准备六个数据合适的长方形，然后用透明胶带按照一定的方式组成一个长方体。在思考数据、手工切割矩形、用胶带围出长方体的过程中，学生对三维图形的曲面有了充分的认识。在自我操作的过程中，学生清楚地认识到长方体的每个面都是一个长(正)正方形。在计算所需纸板的总面积时，他们只需要计算这些长(正)正方形的面积之和，也就是这个长方体的表面积。

四。推荐阅读

《数学词典》第一卷(邱光明，山西教育出版社，2002)

书中第266页对“体积和表面积”的相关概念有详细的解释。