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本文是“2022年第四届数学文化征文活动”
欧拉公式的几何证明及其意义
作者:陈演瑜
工作编号: 093
很多教材都喜欢用泰勒展开来证明欧拉公式。
余弦的泰勒展开；
正弦的泰勒展开；
加，指数函数的逆泰勒展开式:
部分指数函数和e
要理解欧拉公式，首先要理解自然对数的底数E。e = 2.71828…
e在数学中很常见，从光的衰减到近似阶乘的斯特林公式，从自然对数到正态分布。说白了，他是第二著名的数学常数。e最早是在复利研究中提出的。
假设李华有一个单位的本金，存到银行，年利率为r，那一年之后，他有(1+r)个单位的钱，但是银行一年结算几次呢？如果银行一年结算两次，半年收益率降为r/2，李华当年以后的总收入就在那里了。因为r/2也包括在这笔金额之外产生的利息，所以李华的总收入增加了。一年分期多了，总收入就多了。但是，当当前数n趋于无穷大时，总收益不会趋于无穷大。而是趋向于某个极限，也就是e .这里的重点是，虽然n趋向于无穷大，但是每期收益也是递减1/n，最后两者互相抵消，刚好收敛到某个值。这是著名的自然对数的底数。以李华的银行存款为自变量，我们得到了熟悉的指数函数exp。但是如果在这个时候，那么你可以发现极限收益率是。
当你想改变R时，把变化细分成无限个部分，每次变化1/n，最后得到的是。如果在E上放一个虚数，比如iπ，那么会发生什么？这对应的是极限R换成iπ的情况，但处理起来还是太复杂。
第二部分复数乘法
这是一个数轴。
反映在复平面上，就是两个复数对应的向量相加。
= a + c + bi + di
= (a + c) + (b + d)i
但是，复数乘法非常复杂。我们要用乘法分配律展开四项，简化后才能得到一个仍然复杂的公式。
乘法是理解它的唯一粗糙的方法吗？答案是否定的。
示例:
=
=
当一个复数放在一个平面上时，我们不仅可以用它的坐标来表示它的值，还可以用它的模长和振幅角来表示。
如果它的角度是呢？利用三角函数，我们很快找出相应的复数是。
我们关心的是，两个复数相乘会发生什么？面对这么复杂的数学问题，从例题入手是个好习惯。我们不妨先考虑一下情况。
开四项，用i = -1化简，然后把实部和虚部合并成相似项，最后得到。这个结果的幅度正好是两个复数的幅度之和！而它的模长是4，正好是两个复数模长的乘积！
有了复数乘法的几何意义，我们终于可以面对欧拉公式了。
无论如何，我们的任务是:这个部门的尽头在哪里？确定了复平面上端点的位置后，我们也确定了原连续乘积的极限，从而得到E I π的结果。看起来-1是一个非常明显的结果，但是我们希望得到一个更具体的解释。其实这个不难。让我们回到n = 1的情况。
一个大的三角形垂直直角部分，长度为；当n趋于无穷大时，每个小三角形表示相乘，其直角边长为/n，所有小三角形的短直角边一起构成大圆弧的弧长，所以整个圆弧的弧长为。根据弧长公式，我们马上得出结论，圆心角是，这确实是一个完整的半圆。由于半径为1，圆弧的中点在复平面上为-1，所以我们也证明了欧拉公式。
数学上有句话:当一个公式出现的时候，你一定要问自己，圆在哪里？
当我们谈到欧拉公式时，不要认为欧拉公式是在实轴上把E变成-1的把戏；相反，欧拉公式的秘密在于复平面。它借助极限和单位圆的力量，把维提升到实轴以上，走了一大圈才达到-1。如果只有实轴，是不可能完成这个任务的。换句话说，欧拉公式的圆在复平面上。
当把另一个复数带入复指数时，我们仍然可以通过极限来理解。
=?
利用反弧长公式，此时的圆心角为θ。
也就是终点在哪里。
例如，当θ = π/2时，圆弧的圆心角为直角，端点刚好落在虚轴上，即虚单位I。
当θ = π时，我们回到前面的情况，这样我们得到一个更一般的欧拉公式:
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