整数分为哪三类(全体整数可分为)[通俗易懂]

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作者|吴大晓

来源|大小吴的数学课堂

今天武大来和大家探讨一个问题:为什么1既不是质数，也不是合数？

1 因数的个数

对于这个问题，可以参考6年级课本上的素数定义:

“

一个正整数，如果只有1和它本身的两个因子，这样的数叫做素数，也叫质数；如果除了1和它本身还有其他因素，这样的数叫做合数。

也就是说，如果我们根据因子的个数对正整数进行分类，可以得到下表:

正整数因数情况因数个数1个素数1、本身2个合数1、本身、其他因数大于等于3个

可以看出，1的因子只是1本身，所以不属于质数或合数的范畴。这样，正整数分为三类:1、质数、合数。这样来解释“1既不是质数，也不是合数”似乎是合理的。

2 素因数分解的唯一性

事实上，1既不是质数也不是合数的事实需要用“质因数分解的唯一性”来解释，即算术基本定理:

“

任何大于1的自然数，如果不是素数，都可以唯一地分解成有限个素数的乘积，即

这里均为质数，其诸指数是正整数.

这个定理本质上指的是合数被质因数分解时的“存在唯一性”这两个性质。存在意味着一个合数的质因数分解是不可避免的；性意味着这种分解表示是唯一的。举个简单的例子，18是一个合数。如果我们分解它，我们可以得到:

存在性和唯一性是显而易见的，因为我们无法将18分解成其他形式。

3 算术基本定理的证明

但是，在数学中，对于一个定理，我们不能用“明显成立”这几个字来搪塞定理的证明。我们必须再次严格证明。首先，在证明算术基本定理之前，我们需要使用两个引理:

“

引理1:当是素数时，如果它能被整除，它也能被整除。

证明如下:因为和互质，又因为能整除，所以是整数的乘积:

可以看出，

替代，可以得到:

也就是

因为必须是整数，所以可以整除。

“

引理2:如果sum不能被素数整除，那么它的乘积不能被整除。

这个定理用反证法证明，需要引理1:假设它能被整除，因为它不能被素数整除，所以根据引理1，它一定能被整除。然而，这与不可分的已知条件相矛盾。因此，它不能被分割。

所以，当它们都不可分的时候，它的乘积就不可能可分。

换句话说，当可分时，则或或或或可分。(逆无命题)

这样，我们就准备证明分解质因数的方法只有一种。

然后，仍然使用反证法，假设合数有两种分解方法:

消除相同的部分，你可以得到

假设左边的素数和右边的素数不一样(如果有相同的素数因子，上一步已经消去了)，那么根据引理2，因为可以整除，所以in中的一个素数一定可以整除。也就是说，它必须存在，使得

这与假设相矛盾，所以上述等式不成立。我们将等式两边相同的质数逐一四舍五入，最后得到:

也就是说，等式两边的质数从一开始就是完全一样的。

这样，我们就证明了算术基本定理。

4 为什么1既不是素数也不是合数

让我们考虑一下，如果1也包含在质数中，会发生什么。以6为例:

这样，合数分解的素因子的唯一性就不成立，违背了算术基本定理。

所以1不是质数，1显然也不是合数，所以1是唯一一个既不是质数也不是合数的正整数。

参考文献[1]上海师范大学。初中教材(实验版)-数学(六年级上学期)[Z]。上海教育出版社，2019。[2](星期日)元山七。数学女王的邀请——初等数论导论[M]。伊宁译。人民邮电出版社，2020。