相切的意思是什么?_内接法和外接法

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大多数人第一次接触到的切线都来自圆的特殊曲线。因为圆的半径垂直于切线，所以圆的切线可以很容易地定义:通过圆上一点并垂直于该点半径的直线。

已经发现，圆的割线必与圆相交于两点，而切线必仅与圆相交于一点。所以“只在一点相交”成了切线最深的印象。

基于这样的认识，有人提出了切线的定义:

与曲线相切但不相交的直线。

这是流传最广的切线定义。

根据这个定义，与曲线的接触情况有两种，一种是割线，一种是切线。

什么是割线？割线的英文名是secant，与section同源，section的意思很明确，就是切断。

如果你把割线想象成一把刀，曲线会被分成多段——至少是分裂成两段的命运！

一旦关系破裂，切割会在几分钟内发生。

所以有割袍断义之说。

然后，一切就再也回不去了。

记住:在达到那一步之前，不要轻易切割。

嗯，这个语义分析有点啰嗦，有点失控。但我可以保证，正是这种切割带来的痛苦，让你在头脑中对切割线有了前所未有的深刻认识。

但是，说到“切”，如今在现实中，往往只是一个语气词。

不过说真的，“切”主要指以下意思。

这样看来，“切”似乎和“切”或“割”没什么区别？

不要！其实就算不谈切线，“切”的意义也远非以上。也有“合”和“合”的意思，意思是我们只是互相靠近，没有越界。“恰如其分”、“切中要害”等词汇由此而生。“正切”这个词就是从这个意思衍生出来的。

假设此刻你的脸上有一只蚊子，而我是一个武功高强，双斧的大咖。我会用一把锋利的斧子擦过你的脸。斧口扫过的路径是一条切线，你会毫发无损，而切线点的蚊子会被准确砍死。

说了这么多，你现在明白上面切线的定义了。加油！

根据这条切线的定义，考虑以下几种情况。

很明显，和都是切开的，所以那些红线是正割的。然而，只发生了切割。不像切，即使因为这个切掉了一点点也可以忽略，因为数学里的点是没有大小的！因此，曲线不会被切线打断。

当然，机智不如你。有人提出，按照上面的理解，下面这个也是相切的。原因是两者接触，曲线不切。对吗？

不要！切线应该是一条直线，但这里你是一条射线。

直到1828年，这种关于切线的观点或协议才被广泛接受。

有人建议，切线应该只与曲线上的一个点相关联，而不管它是否在另一个位置切割曲线。按照这种说法，上图的红线也应该是相切的！

也就是说对曲线有一个转折，因为直线和曲线的切割是无法避免的，上面说的切线定义也无法给出切线。

因此，1828年后，这个频繁出现在各种词典中的定义被正式宣布废弃。

如果你还抱着这种想法，对不起，你的想法已经出来快两百年了！

1828年以后，字典中给出的切线的定义是:

切线是指刚好接触曲线上一点的直线。

实际上，英语单词“tangent”来自拉丁语“to touch”，意思是接触。偷窃，这种接触只是一种触碰，没有太多的依赖和攀附。

根据这个描述，它对于演示切线有很好的可操作性:当你用一条不太长的直线逼近曲线上的某一点时，只要让你手中的直线刚好碰到曲线，你手中的直线就是你要找的切线。

如果把一根刚性直杆放在球体上，只要避免杆的两端与球体直接接触，就可以确定杆一定与球体相切。

如下图所示，假设地面是光滑的，左边的球与墙壁接触但没有压力，所以球没有变形，所以墙面和球面刚好接触，并且相切。右边的球因为细线的斜张力，必须靠墙支撑。球面是变形的，它不是它和壁之间的点，所以壁面不是球面的切面。

虽然这个切线定义是正确且实用的。但是这句话有点含糊。“随便摸摸”是什么意思？感觉很严肃的数学定义不会这么说，而且真的不太好理解，所以对这个定义的接受度不是很高。

为了解决群众对数学知识的向往和认识有限之间的矛盾，人们需要一种更简单的说法。例如，有多少个交点被认为是切线？于是，最直观的“只有一点”的虚假陈述，却很容易找到反例，依然占据了很大的市场。

这是人类文明史长河中切线的唯一定义吗？

不要！瞧不起历史上那些聪明的数学家！其实早在古希腊时期，人们就给出了准确的定义，后来人们给出了正切的各种定义。不幸的是，也许是因为数学和几何的严格定义往往是抽象的，而这些正确的定义并不为大众所熟知。

那么，有哪些大牛提出了切线的正确定义？其实，古希腊数学家欧几里德和阿基米德，比牛顿更早的法国数学家费马，牛顿本人等。，都做过切线方面的研究。本文无意探究切线定义的发展历史，只列举两个最重要的定义。

第一个定义来自古希腊三大数学家之一的阿波罗尼斯(约公元前262 ~ 190年)。

在数学上，角角又称为角，是定义为两条相切曲线之间形成的角度的曲线角。沿着纵向彼此面对的喇叭表面的以下两条曲线近似与喇叭顶端相切，从而形成喇叭角。当然你可能会跑题，因为喇叭是立体角。

根据阿波罗尼乌斯的观点，如果切线是一条直线，那么切线和曲线之间形成的角就是所有直线和曲线通过该点形成的最小角。

当然，如果切线不局限于直线，可以在它和切割曲线之间插入另一条不同的曲线，它们彼此相切。例如，在下图中，它成功地插入到切线和它之间。

如果把阿波罗尼斯切线定义为直线，就不可能在它和曲线之间插入其他直线。换句话说，切线就是与曲线相切并形成最小夹角的直线。

但值得注意的是，切线的这种定义只适用于光滑曲线。如果像下面这种情况，切线不存在。图中红色的直线只是曲线部分的切线，并不是整个切线。

阿波罗尼奥斯不愧为几何大师，他对切线的定义似乎无懈可击。即使切线延伸到曲线，也是可以的。因为切线是一条形状和大小固定的曲线，所以当你试图将另一条相同的曲线插入角隅，并使其与同一位置的切点重合时，它必须与原切线重合。换句话说，不可能在切线和曲线之间插入另一条(相同的)切线。

但实际上把切线限定在一条直线上是合理的。

这样做不会妨碍对两条曲线相切的研究。因为曲线是否相切可以通过它们是否在一个公共点共享一条切线来确定。事实上，我们就是这么做的！不仅如此，人们还规定，当两条曲线在一个公共点的切线互相垂直时，我们说这两条曲线是正交的。

设圆与曲线相切。如果圆在曲线的凹侧，且曲线在切点的曲率半径等于圆的半径，则该圆称为曲线的密切圆，如下图所示。

圆有类似相切的性质，它和曲线之间没有其他相切的圆。所以才叫近。就像一对伴侣，亲密无间，容不得外人插手。

一些特殊曲线的闭合圆会形成奇妙的图案，典型的案例就是阿基米德螺线。阿基米德螺线又称恒速螺线，是一个点以恒定速度离开固定点，以固定角速度绕固定点旋转时产生的轨迹。在极坐标系统中，这条曲线可以表示为

下图这个看起来像蚊香的东西就是这样的曲线。

沿着等速螺线由内向外画一个半径逐渐增大的亲密圆，形成如下奇特图案(点击看大图)。可以看出，这本身就提供了一种画等速螺线的方法，因为相邻圆切点的轨迹就是螺线本身。

再发一个漫画娱乐一下。

阿波罗尼斯给出的切线的定义就这么多了。

现代广为接受的切线的第二个定义，源于德国大数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(1646-1716)。

他的定义很简单:切线是两个交点无限接近时曲线上割线对应的直线。

如上图所示，红线是一条割线，与曲线相交于两点。设一个交点固定，另一个交点沿曲线逼近固定点。在这个过程中，割线不断旋转。

当两者的距离无限接近时，他们所决定的割线不再移动，这就形成了一个特殊的割线——哦，此时不再是割线，而是定义为“切线”的直线。

那么，切线是什么？切线的交点无限接近时就是极限。其斜率可通过极限运算确定，即

根据导数的概念，这个极限正好是函数在那里的导数，也就是我们可以给出正切的一个非常严格的数学定义。那就是:

有一条曲线的导数是。如果一条直线通过一个点并有一个斜率，则称为曲线在该点的切线。

根据这个定义，只要知道曲线的函数表达式，就可以通过求导得到曲线上任意一点切线的斜率。通过添加这个已知点，我们可以唯一地确定切线。

当然，对于非光滑曲线，因为导数在某些位置不存在，所以切线也不存在。

莱布尼茨的切线定义包含了他的微分思想。

研究微分的人都知道，微分是一个无限趋近于零的值，但不等于零。这保证了两点还是两点，只是互相无限接近而已！这一点非常重要。

因此，切线是由曲线上无限接近但不完全重合的两点确定的直线。

这个定义和大多数人心目中切线的定义不一样。很多人往往认为切点就是一个点。其实想想。一个点如何确定一条直线？肯定是两点！

因此，切点本质上包含两个点，两个无限接近的点。

呃是不是有点世界观被颠覆的感觉？一个点不就是一个点吗？怎么会是两个点呢？

是的，如果你只关心位置，那么切点就是一个点，是不动点的变态。但只有当那个动点无限接近时，才成为切点！在此之前，它不是切点。

所以，莱布尼茨的定义是多么精彩啊！

莱布尼茨的定义和阿波罗尼斯的定义是一样的，下面的动画很清楚地说明了这一点:你不能在切线和曲线形成的角上再插入一条直线。

最后我们来看一个问题:曲线上的任意一点都只有一条切线吗？

很多人的答案是肯定的，在研究电场的时候也明白了为什么电场线不能相交。但恐怕很多人在这个问题上有点逻辑颠倒。实际上电场线是不能相交的，因为场矢量在任意一点的方向都是唯一的，并不是说曲线上每一点只能有一条切线！

其实一个点之后还有很多切线！

例如，以下称为帕斯卡或利马松的曲线在原点有两条切线。这是奇点的一个特例。在这种情况下，前面的定义失败了。但是这些奇点的切线方程可以按照纯代数的方法来求，这里不涉及。

类似于曲线的切线，在给定点与曲面相切的平面是在该点“刚好接触”曲面的平面。比如下图，球面刚好接触平面，平面就是球面的切面。

现在，切线的概念已经普及，成为微分几何中最基本的概念之一。

结束

来源:大学物理

编辑:趣味超人