奇函数关于什么对称(奇函数都是关于原点对称吗)「终于解决」

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我们知道奇函数的像关于原点对称，偶函数的像关于Y轴对称。从这个意义上说，宇称可以看作是对称的一个特例。另外，通过与周期性的结合，会表现出更多的对称性(包括对称轴和对称中心)。下面分析常见的类型。

首先，双重对称

如果f(x)的像有两种对称的方式，那一定是周期函数。我们有以下结论:

(1)若f(x)关于x=a对称，也关于x=b对称(a≠b)，则f(x)是周期为2 | a-b |的周期函数；

(2)若f(x)关于点(a，0)对称，也关于点(b，0)对称(a≠b)，则f(x)是周期为2 | a-b |的周期函数；

(3)若f(x)关于点(a，0)对称，关于直线x=b(a≠b)对称，则f(x)是周期为4|a-b|的周期函数。

另外，对称性本身有以下结论，要牢记:

(1)若f(x)关于直线x=a对称，则f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)成立；

(2)若f(x)关于点(a，0)对称，则f(x)=-f(2a-x)或f(x+a)=-f(a-x)成立。

解:(1)解1:f(x)的像关于直线x=-1和直线x=2对称，所以f(x)是周期为6的周期函数，那么f(15)=f(15-6×2)=f(3)=10。

2:根据f(x)关于直线x=-1和直线x=2的像的对称性，有f (-1+x) = f (-1-x)，f(x) = f (-2-x) = f。

(2)解1:f(x)的像关于点(-1，0)和(2，0)对称，所以f(x)是周期为6的周期函数，那么f(15)=f(15-6×2)=f(3)=10。

2:根据图像关于点(-1，0)和(2，0)的对称性，得到f(x)=-f(-2-x)，f(x)=-f(4-x)，则f(-x)=-f(x-2)，f(

(3)解1:f(x)的像关于点(-1，0)和直线x=2对称，所以f(x)是周期为12的周期函数，那么f(15)=f(3)=10。

2.解:函数y=f(x)(x∈R)的像关于点(-1，0)和直线x=2对称，则f(x)=-f(-2-x)，f(2+x)=f(2-x)，则f (-x)

总结:如果函数关于两条直线对称，或者关于X轴上的两点对称，周期为对称直线横坐标或对称中心之差的两倍；如果函数关于X轴上的一条直线和一个点对称，则周期为对称直线的横坐标与对称中心之差的四倍。

另外，对称和周期的表述非常接近，在记忆中容易混淆。以下推论可以帮助记忆:

2.设函数f(x)对任意实数X满足f(2+x)=f(2-x)，f(7+x)=f(7-x)，f(x)=0，判断函数f(x)的像在区间[-30，30]内与X轴有多少个交集

解:由题目可知函数f(x)的像关于直线x=2，x=7对称，由函数的性质得出f(x)是周期为10的函数。在一个周期区间[0，10]中，f(x) = 0，f (4) = f (2+2) = f (2-2) = f (0) = 0且f(x)不能恒为零，所以f(x)像与x轴至少有两个交点。区间[-30，30]有6个周期，所以闭区间[-30，30]中f(x)像与X轴至少有13个交点。

二、奇、偶函数的另一对称轴(或称对称中心)

如果定义在R上的函数是奇函数或偶函数，并且存在另一个对称轴或对称中心，那么这种双对称函数一定是周期函数，其规律如下:

解:(1)f(x)的像关于直线x=0和直线x=2对称，所以f(x)是偶函数，f(x)是周期为2×2=4的周期函数，那么f(17)=f(17-4×3)=f(5)=26。

(2)f(x)的像关于原点与(2，0)对称，所以f(x)是奇函数，f(x)是周期为2×2=4的周期函数，那么f(17)=f(17-4×3)=f(5)=26。

(3)f(x)的像关于原点和直线x=1对称，所以f(x)是奇函数，f(x)是周期为4×1=4的周期函数，那么f (15) = f (15-4× 3) = f (3) =-f (-3)。

(4)函数y=f(x)(x∈R)的像关于直线x=0和点(1，0)对称，所以f(x)是偶函数，f(x)是周期为4的周期函数，那么f (15) = f (15-4× 3)。

第三，平移对称

(1)若f(x+a)是偶函数，则f(x)的像关于直线x=a对称；

(2)若f(x+a)是奇函数，则f(x)的像关于点(a，0)对称。

4.f (x)的定义域是R，如果f (x+1)和f (x-1)都是奇函数()

A.f(x)是偶函数B. f(x)是奇函数C. f (x) = f (x+2) D. f (x+3)是奇函数。

解:∵f(x+1)是奇函数，则存在一个对称中心(1，0)；同样的道理f(x-1)是奇函数异志f(x)有一个对称中心(-1，0)。

然后从双对称性推断f(x)是周期函数，周期t = 2 | 1+1 | = 4。

下面我们来分析几个选项。

如果f(x)是偶函数，那么根据第二点的结论，周期为t = 4 | 1-0 | = 4，满足条件。

如果f(x)是奇函数，那么根据第二点的结论，周期t = 2 | 1-0 | = 2，那么4也是f(x)的一个周期，满足条件；

所以f(x)可能是奇函数，也可能是偶函数，排除A和B；如果f(x)是一个偶函数，周期是4，那么C是不正确的。

既然已经发现f(x)的周期为4，那么f (x+3) = f (x-1)是奇函数，那么D一定是正确的。

总结:此题为高考题。其实更容易得到D作为正确答案，但是排除A，B，c就有点麻烦了，其实f(x+a)是一个偶函数，相当于把f(x)的像左移一个单位得到一个偶函数，所以x=a一定是f(x)的对称轴；F(x+a)与奇函数相同。