无理数包括哪些(常见的无理数有三类)「建议收藏」

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​1.

有理数是简单的数。用于计数的数和所有能写成分数的数都是有理数。但实际上，在数的王国里，我们熟悉的是少数有理数的存在，大部分都是无理数。无理数就是那些没有尽头，可以无穷无尽下去的数，比如π，√2等。它们不能写成分数，无处不在却难以捉摸。

如果不能简单准确的表达无理数，又怎么近似呢？通常，当我们需要使用这些数字时，我们会将它们四舍五入到小数点后一位。比如π通常取3.14，等于157/50。然而，另一个22/7的分数似乎更接近π的值。这就引出了一系列问题:这些近似值能有多精确？这个精度有限制吗？任何形式的分数都可以用来近似吗？

1837年，数学家古斯塔夫·勒尤尼·狄利克雷发现，只要你不太在意误差，就很容易找到无理数的近似值。他证明了对于每一个无理数，都有无限个接近这个数的分数。从某种意义上说，这是有理逼近的一种狭义表达:如果用于逼近的分数的分母可以是任意整数，并且如果允许的逼近误差是1除以这个分母的平方，那么每个无理数都可以被逼近成无穷个分数。

但是，如果您希望分母是从整数的子集提取的数字，例如所有的质数或所有的完整平方数，该怎么办呢？比如你想让逼近的误差为一个特定值，在这种特殊条件下我们还能得到无穷多个逼近分数吗？

2.

1941年，物理学家理查德·杜芬和数学家艾伯特·谢弗提出了一个简单的猜想来回答这些问题。在近似无理数时，首先要选择一个无穷分母序列，它可以是任意数的列表，比如全是奇数，全是偶数，全是10的倍数，或者全是质数等。

下一步是确定列表中每个数字的无理数近似值的精确度。比如n/2形式的分数可以逼近任何一个近似“误差”在1/10以内的数；n/10形式的分数可以近似任何数字，误差在1/100以内。

直观上，允许误差越大，逼近的可能性越大。容许误差越小，越难达到近似。接下来，基于现有的分母序列和设定的“误差”大小，能否找出是否能找到无穷多个分数来近似所有无理数？

Duffin和Schaeffer根据误差来衡量他们什么时候能做到这一点。如果选取的误差整体上足够小，那么对于随机选取的无理数来说，只有有限的几个好的近似:它可能会落入具有某些特定分母的近似之间的空隙中。但是如果误差足够大，就会有无穷多个分母可以产生一个很好的近似分数。在这种情况下，如果误差也随着分母的增加而减小，那么可以选择尽可能精确的近似值。

因此，Duffin和Schaeffer怀疑结果是，要么你选择的分母列表能以要求的精度逼近所有无理数，要么一个都不能逼近。也就是说，你要么得到一切，要么一无所有，没有中间地带。

这是有理逼近中很常见的一种表述，大多数数学家认为杜芬和谢弗提出的标准是正确的。但是证明其正确性要困难得多，这个问题的证明已经成为数论中一个标志性的公开问题。

3.

如果你现在想近似0到1之间的所有无理数，而你选择的分母是1到10之间的整数，那么可用的分数是:1/1，1/2，2/2，1/3，2/3…9/10, 10/10.但是在这些分数中，有些数字是重复的，比如2/10=1/5，5/10=1/2等等。

所以Duffin-Schaeffer猜想中包含了一个计算每个分母可以给出的唯一分数(最简单分数)个数的特殊术语，叫做欧拉函数。比如10的欧拉函数是4，即1/10，3/10，7/10，9/10。下一步是计算每个最简单的分数可以近似多少个无理数，这取决于允许的误差。

一旦分数确定，误差设定，就可以开始找无理数了。我们可以在一个从0到1的数轴上标记这些分数，然后将误差项描述为从分数两侧延伸的“网”。按照设定的条件，所有陷入网中的无理数都是很好的近似。那么接下来的一个大问题就是:有多少无理数陷入网中？

首先，一个数轴上的任意区间都有无限个无理数，所以我们无法用一个准确的数值来表示网络中陷入无理数的个数。因此数学家们转向每个分数所占的无理数总数的比例。Duffin-Schaeffer猜想是将每个近似分数所网成的无理数集合的比例相加:如果这个和趋于无穷大，则说明所有的无理数都已被近似；如果这个和停在一个有限值，那就说明你没有近似值可以实现任何无理数。所以这是一个关于无穷序列是发散还是收敛的问题。

最终，2019年夏天，来自牛津大学和蒙特利尔大学的数学家詹姆斯·梅纳德(James Maynard)和迪米特里斯·库库洛普洛斯(Dimitris Koukoulopoulos)在arXiv上发表了他们的证明，解决了这个存在了近80年的难题。

4.

梅纳德是一位数字理论家，他通常的研究课题都与素数有关。在Maynard和Koukoulopoulos之前，大多数相关研究都将这个问题归结为分母的质因数。但梅纳德建议，这个问题应该看作是数字的阴影:比如在一个数轴上，分母为100的分数附近的所有无理数都应该着色。如果误差足够大，那么每隔一个以其他数为分母的分数也可能覆盖这些无理数。结果几乎每个无理数都会被着色无数次，导致重复计数？

对于一些类似的数字，这种重复计数问题不大，比如分母是质数组成的分数。但是当分母是其他序列时，重复计数会带来很大的挑战。当两个分母有很多相同的素因子时，就会出现这种重复计数。例如，分母10和100都具有质因数2和5，并且可以被n/10的分数近似的数与可以被n/100的分数近似的数具有高重叠面积。

Mayd和Koukoulopoulos通过借用一束点的图形解决了这个问题。不同的点代表用于近似的分母。如果两个点有许多共同的质因数，就把这两个点连接起来。这样，图的结构编码了由这些分母近似的无理数之间的重叠。利用这种方法，他们不仅证明了这一猜想，而且为所涉及的结构问题提供了清晰的视觉信息。

数学家认为，梅纳德和库库洛普洛斯取得了数学中最困难的成就之一。然而，鉴于两人发表的证明长达44页，并且非常复杂，其他数学家可能需要几个月才能完全理解这种方法的所有细节。

纸质链接:

https://arxiv.org/pdf/1907.04593.pdf

参考链接:

[1]https://www . quanta magazine . org/new-proof-settles-how-to-approximate-numbers-like-pi-2019 08 14/

[2]https://www . scientific American . com/article/new-proof-solves-80岁-无理数-问题/