雅可比行列式(雅可比行列式的性质)

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绪论线性代数(高等代数)是进入大学后学习代数的起点，与数学分析、解析几何一起被称为数学的三大基础课。需要注意的是，一般来说，理工科的理科是线性代数，数学系学的是高等代数。与线性代数相比，高等代数除了在内容上增加了多项式，还增加了难度和深度。当然，高等数学和数学分析是有区别的，这里就不赘述了。从今天的数学角度来看，线性代数几乎无处不在，其概念和方法已经渗透到与数学相关的方方面面，这也是线性代数如此重要的原因。

线性代数的课程内容基本可以分为矩阵、线性空和线性变换三个部分，每个部分又可以分成几个小部分。热与线性变换无疑是线性代数的核心内容，线性变换的研究可以转化为矩阵的研究。所以，“矩阵”应该说是线性代数的核心概念。行列式与矩阵密切相关，所以行列式的重要性自然不言而喻。今天就简单分析一下行列式和矩阵的一些表面性质和意义。限于篇幅和知识，我们就不展开太多了。

行列式

与传统方法相比，线性代数是从解线性多元方程组开始的，因为它很自然地引出了行列式和矩阵的概念。从数学的历史发展来看，虽然行列式和矩阵看起来“很像”，但是对行列式的研究早于矩阵。行列式的概念源于日本人关晓和，近百年后，克雷默正式提出了利用行列式解线性方程组的方法，也就是俗称的克莱姆法则。

行列式最初的定义来源于解n×n线性方程组，即取出n×n个系数进行行列式运算。从完全数学的角度来看，行列式是关于一列的多重反对称线性函数。至于具体怎么定义，行列式的各种性质，这里就不赘述了。

特别是行列式的性质与线性方程组的性质高度相关。我们都知道解线性方程组有一个著名的高斯消元法，就是把前一个方程乘以一个常数，加到后一个方程上，这样后一个方程中的未知数就可以逐渐减少到不能再减少，然后通过求解这个未知数最少的方程就可以逐步解出整个方程。可能存在行列式为0的情况，即至少有两个方程是等价的，等价是指高斯消去后其中一个是另一个的倍数。因此，方程的解不是唯一的，解将由一个或多个参数表示。粗略地说，如果要使解唯一，那么不等式组的个数必须等于未知数的个数，这就是求行列式的值，也正是判断这个结果的标准。

行列式只能定义为n×n形式，因为它最早是用来研究n×n线性方程组的。关于这类线性方程，著名的克莱姆法则指出，如果一个线性方程的行列式不为0，那么它就有唯一解，并且可以用行列式来表示。那么一个很自然的问题就是，如果一个线性方程组的方程组的个数和未知数的个数不一样呢？这就引出了矩阵的概念。但是需要注意的是，矩阵不是行列式的推广，行列式是一种运算，矩阵是一种数学结构，或者说是研究的对象。

矩阵

类似于行列式中的形式，我们把方程的系数拿出来形成一个所谓的系数矩阵，把未知项和常数项拿出来形成一个列向量，然后把系数和常数项重新组合成一个增广矩阵。

实际上，高斯消元法对这类方程同样有效，而且在这个表达式中，我们只需要对增广矩阵进行运算，于是对方程的研究就完全转化为对矩阵的研究，实现了从具体到抽象的过程。就数学而言，大部分时候我们关心的是解的情况而不是详细地找出来，比如解的存在唯一性，或者在不唯一的情况下可以用几个参数来表示。

为了实现这些目标，我们应该引入矩阵的“秩”这一深刻的概念。从一个有行有列的a×b矩阵中取n行n列(n≤a，b)组成一个方阵(即行列相等的矩阵)。如果这个方阵的行列式不为0，称为非奇异或可逆，使得n×n方阵的非奇异最大N成为这个矩阵的秩，如果N等于A和B中较小的一个，称为满秩。其实可以看出，矩阵的秩其实就是不等式的个数。接下来可以证明，线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩(记为R)相等。再者，解有B-R个参数，如果B-R < 0，则方程组不相容，无解。特别是如果系数矩阵是满秩的，那么一定有解，因为增广矩阵也是满秩的。至此，线性方程组解的存在唯一性问题已经完全解决。

考虑更一般的情况，即有不止一个未知列。此时用不同的未知列组成一个矩阵，从而得到该矩阵的乘法意义，即系数矩阵乘以未知列矩阵等于常系数列矩阵。根据矩阵乘法的定义，矩阵A和B可以相乘的条件是A的列数等于B的行数。

可见，方阵是最重要的一类矩阵，因为它可以求行列式。如果行列式不为0，这就引出了矩阵的逆矩阵的概念。在乘法运算下，一个方阵有一个单位元，即单位矩阵E(对角线全为1的矩阵)，满足AE = EA = A，若AB=BA=E，则B称为A的逆矩阵，如果我们回到线性方程组Ax=b，若A可逆，则左边方程组两边A的逆矩阵B相乘，则x=Bb，从而直接解方程组！这就是逆矩阵的本义。求逆矩阵的方法有很多，这里就不多说了。

方阵的行列式

线性空区间也称为向量空区间。选定一组基后，线性空区间内的元素完全由其在基下的系数决定，所以判断几个向量是否线性相关就变成了系数矩阵的秩的问题。线性空与其自身之间的线性映射称为线性变换。选定一组基后，线性变换将由其基下的矩阵(实际上是一个方阵)决定。比如图形的平移、旋转、压缩都是线性变换。

在多重积分的变量代换过程中，我们遇到了雅可比矩阵及其行列式，具有深刻的几何意义。Dx1dx2……dxn代表体积无穷小。我们知道变量代换要求雅可比行列式不为0。雅可比行列式实际上反映的是线性变换下有向体积元的伸缩，因为微分可以看成切线空之间的线性变换。如果雅可比行列式为0，那么线性变换是不可逆的。它把高维空映射到低维空，一一对应不复存在，很多东西失去了意义。

行列式的几何意义大致是这样解释的，但行列式所能表达的意义远不止这些。比如还可以表示向量的外积，多面体的体积等。当然，核心思想都差不多。

结语

从线性方程组出发，简单分析了行列式和矩阵两个概念，重新审视了线性变换核心内容下的矩阵及其行列式。但我不得不说的是，矩阵的内容博大精深。我们所谈论的连九根牛一毛都算不上，充其量只是一个概念介绍。我们的介绍到这里就告一段落了，有兴趣的朋友可以参考相关书籍。