漫步微积分三十三——体积计算：圆盘法

科技前沿 • 2025-03-29 09:43 • 阅读 30

漫步微积分三十三——体积计算：圆盘法在 x a x b 之间的曲线 y f x 绕 x 轴旋转产生一个区域这是一个三维图像这种对称形状的面积相对比较容易计算这种情况如图 1 所示左边是我们展示了区域本身以及底在 x 轴上宽为 d x 的摘窄带当该区域绕 x 轴旋转时

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在 x=a,x=b 之间的曲线 y=f(x) 绕 x 轴旋转产生一个区域，这是一个三维图像。这种对称形状的面积相对比较容易计算。

这种情况如图1所示。左边是我们展示了区域本身以及底在 x 轴上宽为 dx 的摘窄带。当该区域绕 x 轴旋转时，这条窄带生成了薄的圆盘，形如一枚硬币如图右边所示，它的半径是 y=f(x) 厚度为 dx 。此圆盘的体积是我们体积 dV 的元素。因为圆盘是一个圆柱体，所以它的体积是圆盘表面积乘以厚度，

dV=πy2dx=πf(x)2dx(1)

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