§4 抛物面
1.椭圆抛物面
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（1）标准方程
（2）基本元素
*顶点 O(0,0,0)
*主轴 Z轴
*主平面 OYZ平面：x=0；OZX平面：y=0
（3）当a=b时，椭圆抛物线面是由OZX平面上的抛物线
绕Z轴旋转得到的
（4）平面与椭圆抛物面的交线
*平行于Z轴的平面与椭圆抛物面的交线是抛物线
*垂直于轴的平面z=k(
)与椭圆抛物线的交线是椭圆，特殊情况（k=0）为一点
2.双曲抛物面
（1）标准方程
（2）基本元素
*顶点 O(0,0,0)
*主轴 Z轴
*主平面 OYZ平面：x=0；OZX平面：y=0
（3）直纹面母线方程
双曲抛物面是直纹面，且通过曲面上每一点均有两条直母线。
双曲抛物面的两族直母线方程为：
与
§5 二次锥面与柱面
1.锥面的定义
设Γ为平面π上一条曲线，V为π外一点。当动点P沿着Γ运动时，直线VP(直线l） 的轨迹称为以V为顶点，Γ为底线，l为母线的锥面(如右图)。
锥面是直纹面。
2.椭圆锥面
（1）标准方程
（2）基本元素（如右图）
- 顶点 O(0,0,0)
- 主轴 Z轴
- 准线Γ
（3）当a=b时为旋转曲面
当a=b时,椭圆锥面为圆锥面，它是OZX平面上的直线
绕Z轴旋转得到的。
（4）平面与椭圆锥面的交线
- 平行于OXY的平面：z=k与椭圆锥面的交线是椭圆：
特别，平面Z=0与曲线交于原点O
- 平行于OYZ或OZX的平面与椭圆锥面的交线是双曲线（k≠0）或一对交于O的直线（k=0）
（5）椭圆锥面是双叶双曲面和单叶双曲面的渐近锥面
椭圆锥面:
双叶双曲面:
单叶双曲面:
(a,b,c>0)
- 三个曲面与平面z=k的交线均为椭圆，当k→∞时，三个椭圆无限接近，即三个曲面无限接近。
- 通过Z轴的每个平面与双曲面的交线为一对共轭双曲线，与锥面的交线为两条直线，即是这对双曲线的渐近线。
3.柱面的定义
设Γ是一空间曲线，l是一条固定的直线。与Γ相交而且与l平行的直线集合所构成的曲面称为柱面。称Γ为柱面的准线，柱面上与l平行的直线称为母线。
显然，柱面S与可视为l沿Γ平行运动而生成的曲面。
柱面是直纹面。
4.椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面
| 名称 | 图形 | 方程 | 准线与母线 | 与平面交线 |
| 椭圆 柱面 |
|
当a=b时，为圆柱面： x2+y2=a2 |
准线： 母线方向数：（0，0，1） |
与平行于OXY平面z=k的交线都是椭圆：
|
| 双曲 柱面 |
|
|
准线： 母线方向数：（0，0，1） |
与平行于OXY平面z=k的交线都是双曲线：
|
| 抛物 柱面 |
|
|
准线： 母线方向数：（0，0，1） |
与平行于OXY平面z=k的交线都是抛物线：
|
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