2025年复数的函数基本运算（加，减，乘，除，对数，指数，幂，三角，反三角，双曲线）

科技前沿 • 2025-02-25 23:09 • 阅读 37

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

在之后的项目中有编写复数函数的要求，所以先总结资料以备用。同时也发布在这里以供大家参考。

复数的加法运算

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

复数的减法运算

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

复数的乘法运算

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i

复数的除法运算

复数的指数运算

在这里插入图片描述
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复数的log运算

对于以其它数为底的对数，可以使用换底公式：
在这里插入图片描述

复数的幂运算

在这里插入图片描述复数的幂运算单独进行，比较复杂。可以在指数运算和对数运算的基础上进一步进行。

求复数的cos函数值

由 cos(a+b) = cosacosb - sinasinb 得
cos(a+bi) = cosacos(bi) - sinasin(bi)
又
sinh x = -i sin(i * x)
cosh x = cos(i * x)
tanh x = -i tan(ix)
coth x = i cot(i * x)
sech x = sec(i * x)
csch x = i csc(i * x)
所以
cos(a+bi)
= cosacos(bi) - sinasin(bi)
= cosacoshb + [sina*sinhb] i

求复数的sin函数值

由 sin(a+b) = sinacosb + cosasinb 得
sin(a+bi) = sinacos(bi) + cosasin(bi)
又
sinh x = -i sin(i * x)
cosh x = cos(i * x)
tanh x = -i tan(ix)
coth x = i cot(i * x)
sech x = sec(i * x)
csch x = i csc(i * x)
所以
sin(a+bi)
= sinacos(bi) + cosasin(bi)
= sinacoshb - [cosa*sinhb] i

也可以使用此公式，在指数运算的基础上进行。
在这里插入图片描述

复数的n次开方运算

任意复数表示成 z = a + bi

若 a = ρcosθ, b = ρsinθ, 即可将复数在一个平面上表示成一个向量, ρ为向量长度（复数中称为模）,θ为向量角度（复数中称为辐角）

即 z = ρcosθ + ρsinθ, 由欧拉公式得 z = ρe^(iθ)
注意到向量角度, cos(2kπ+θ) = cosθ, sin(2kπ+θ) = sinθ
所以 z = ρe^ (iθ) = ρe^[i(2kπ+θ)
开n次方,z^ (1/n )= ρ^ (1/n) * e^ [i(2kπ+θ)/n]
k=0,1,2,3……n-1,n,n+1……
k=n时,易知和k=0时取值相同
k=n+1时,易知和k=1时取值相同

故总共n个根,复数开n次方有n个根
故复数开方公式
先把复数转化成下面形式
z = ρcosθ + ρsinθ = ρe^[i(2kπ+θ)
z^ (1/n) = ρ^ (1/n) * e^ [i(2kπ + θ)/n]
k取0到n-1。

然后再通过指数运算求值。

复数的反三角函数运算

在这里插入图片描述

复数的双曲函数运算

在这里插入图片描述
根据转换，转换成复数的指数运算。

初次撰写博客，多有瑕疵敬请指教。