2025年标准椭圆方程推导

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初衷

用opencv拟合椭圆后，想评估一下拟合的质量，即被拟合点与拟合结果的接近程度。我首先想到的办法是将被拟合点带入椭圆方程 $f(x, y) =Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F$ ，如果一个点正好在椭圆上，那么 $f (x, y) = 0$ ，而一个点偏离椭圆越多，则其计算值越大，因此可以用来评估被被拟合点的偏差。 opencv 中 fitEllipse() 函数计算得到的是椭圆的中心坐标、长短轴的长度和长轴与 $+ x$ 轴的夹角（需要注意的是，拟合结果的 height 才是长轴），需要根据这些信息推导椭圆的标准方程。

推导

中心在原点且长轴在x轴上的椭圆方程为：
$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \tag 1$ 其中， $a$ 和 $b$ 分别是长半轴和短半轴。若椭圆长轴与正x轴夹角为 $\theta$ (逆时针)，且中心坐标为 $x_0,y_0)$ 。其任意一点平移 $x_0,-y_0)$ 再旋转 $-\theta$ 即满足标准椭圆方程。

首先考虑点 $(x, y)$ 绕原点顺时针旋转角度 $\theta$ 到 $(x^{'}, y^{'})$ 。
用参数方程表示点 $(x, y)$ 和点 $(x^{'}, y^{'})$ ：
$\begin{cases} x = t\cos\phi\\ y = t\sin\phi \end{cases} \tag 2$ $\begin{cases} x' = t\cos(\phi-\theta)=t(\cos\phi\cos\theta+\sin\phi\sin\theta)\\ y' = t\sin(\phi-\theta)=t(\sin\phi\cos\theta-\cos\phi\sin\theta) \end{cases} \tag 3$ 因此：
$\begin{cases} x' = x\cos\theta+y\sin\theta\\ y' = -x\sin\theta+y\cos\theta \end{cases} \tag 4$ 继而可得一般椭圆方程为：
$\dfrac{\left[(x-x_0)\cos\theta+(y-y_0)\sin\theta\right]^2}{a^2}+ \dfrac{\left[(x-x_0)\sin\theta-(y-y_0)\cos\theta\right]^2}{b^2}=1$ 化简为 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 的形式可得：
$\begin{aligned} A=&\dfrac{\cos^2\theta}{a^2}+\dfrac{\sin^2\theta}{b^2} \\ B=&2\sin\theta\cos\theta\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\right) \\ C=&\dfrac{\sin^2\theta}{a^2}+\dfrac{\cos^2\theta}{b^2} \\ D=&-2\left[\dfrac{\cos\theta(x_0\cos\theta+y_0\sin\theta)}{a^2}+ \dfrac{\sin\theta(x_0\sin\theta-y_0\cos\theta)}{b^2}\right] \\ E=&-2\left[\dfrac{\sin\theta(x_0\cos\theta+y_0\sin\theta)}{a^2}- \dfrac{\cos\theta(x_0\sin\theta-y_0\cos\theta)}{b^2}\right] \\ F=&\dfrac{(x_0\cos\theta+y_0\sin\theta)^2}{a^2}+ \dfrac{(x_0\sin\theta-y_0\cos\theta)^2}{b^2}-1 \end{aligned} \tag 5$

代码

在 C++ 中实现上述计算的函数为：

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cv::Mat normEllipseParams(cv::RotatedRect box) { 
    double params[6]; cv::Mat rst(6, 1, CV_64FC1, params); double theta = box.angle / 180 * CV_PI; double st = sin(theta); double ct = cos(theta); double a = box.size.width / 2; double b = box.size.height / 2; double a2 = a * a; double b2 = b * b; double x0 = box.center.x; double y0 = box.center.y; double xcys = x0 * ct + y0 * st; double xsyc = x0 * st - y0 * ct; params[0] = ct * ct / a2 + st * st / b2; params[1] = 2 * st * ct * (1 / a2 - 1 / b2); params[2] = st * st / a2 + ct * ct / b2; params[3] = -2 * (ct * xcys / a2 + st * xsyc / b2); params[4] = -2 * (st * xcys / a2 - ct * xsyc / b2); params[5] = xcys * xcys / a2 + xsyc * xsyc / b2 - 1; return rst.clone(); }

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返回的 Mat 即 A~F 六个参数。

后记

测试后发现一个问题，计算椭圆方程的方法计算比较复杂，而且计算结果受椭圆大小的影响，难以直观地反应点的偏差值。后来我发现其实可以利用“椭圆上的点到其两个焦点的距离之和不变”这一性质来判断一个点偏离椭圆的程度。

椭圆的两个焦点在其长轴上，且与中心的距离为 $\sqrt{a^2-b^2}$ ;
椭圆上的点到两个焦点的距离之和为 $2 a$ .

计算椭圆焦点的函数为：

讯享网std::array<cv::Point2f, 2> calcFocal(cv::RotatedRect& ellipse) { 
    if (ellipse.size.width < ellipse.size.height) { 
    swap(ellipse.size.width, ellipse.size.height); ellipse.angle -= 90; } float a = ellipse.size.width / 2; float b = ellipse.size.height / 2; float c = sqrt(a * a - b * b); float theta = ellipse.angle / 180 * CV_PI; cv::Point2f delta(c * cos(theta), c * sin(theta)); return { 
   ellipse.center + delta, ellipse.center - delta}; }

对于任意一个被拟合的点，只要计算其到两焦点的距离之和与 $2 a$ 的差值，即可知道它与椭圆的像素偏差大小。

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