实变函数自制笔记5：勒贝格测度论

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1、外侧度：

测度的背景：仅有连续函数和积分的古典理论并不足以解决数学分析的许多问题；由于黎曼积分在理论上具局限性，故需要将原有的积分定义进行改造；对于闭区间的正值连续函数，其积分就是平面曲边梯形的面积；而不可积函数这样的面积就不存在；所以我们需要将面积这一概念进行推广，使得更多的函数通过新的度量达到类似面积这样性质；
$\mathbb{R}^{n}$
讯享网的开集度量：

$\mathbb{R}^{2}$ 中，开矩形 $I=\left \{ \left ( x,y \right )\mid a<x<b,c<y<d \right \}$ 的面积： $\left ( b-a \right )\left ( d-c \right )$ ；
$\mathbb{R}^{3}$ 中，开长方体 $I=\left \{ \left ( x,y,z \right )\mid a<x<b,c<y<d,l<z<h \right \}$ 的体积： $\left ( b-a \right )\left ( d-c \right )\left ( h-l \right )$ ；
……
$\mathbb{R}^{n}$ 中，开集/开长方体 $I=\left \{ \left ( x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n} \right )\mid a_{i}<x_{i}<b_{i},i=1,2,\cdots ,n \right \}$ 的体积： $\left | I \right |=\prod_{i=1}^{n}\left ( b_{i}-a_{i} \right )$ ；

外侧度的背景：对于一般的点集，我们无法使用类似黎曼积分的分析方法（对 $\left [ a,b \right ]$ 分成份，以个长方形的面积之和代替积分；这里可以引申为分割的长方体之和代替体积）；为此这里采用外部挤压的办法，用矩形/正方形去覆盖点集，通过计算这些矩形的面积总和得出原点集的“面积”（明显这些矩形的面积值比原点集的“面积”值要大）；由此我们通过外侧度来推出测度的概念；
-覆盖：已知点集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ ， $\left \{ I_{k} \right \}$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 中的可数个开矩体，且 $E\subset \bigcup_{k=1}^{\infty }I_{k}$ ，则 $\left \{ I_{k} \right \}$ 为的一个-覆盖；
勒贝格（Lebesgue）外侧度/外侧度 $m^{*}E$ / $m^{*}\left ( E \right )$ ： $m^{*}E=\inf \left (\sum_{k=1}^{\infty }\left | I_{k} \right | \right )$ ，其中 $E\subset \bigcup_{k=1}^{\infty }I_{k}$ ， $I_{n}$ 为开矩体（或称 $\left \{ I_{k} \right \}$ 为的-覆盖）；
外侧度的性质和定理：

非负性： $m^{*}E\geqslant 0$ ； $m^{*}\varnothing =0$ ；
单调性： $A\subseteq B\Rightarrow m^{*}A\leqslant m^{*}B$ ；
次可加性： $m^{*}\left ( \bigcup_{k=1}^{\infty }E_{k} \right )\leqslant \sum_{k=1}^{\infty }m^{*}E_{k}$ ；
平移不变性： $E\subset \mathbb{R}^{n}$ ， $x_{0}\in \mathbb{R}^{n}$ ，若记 $E+\left \{ x_{0} \right \}=\left \{ x+x_{0},x\in E \right \}$ ，则 $m^{*}E=m^{*}\left ( E+\left \{ x_{0} \right \} \right )$ ；

2、可测集

可测集和不可测集的构建背景：我们总可以找到互不相交的 $\left \{ E_{k} \right \}$ ，有 $m^{*}\left ( \bigcup_{k=1}^{\infty }E_{k} \right )< \sum_{k=1}^{\infty }m^{*}E_{k}$ ，即外侧度不满足可数可加性；事实上，总有一些点集是不存在测度的，这些点集构成的集合便叫做不可测集；反过来说，具有可加性的点集集合就是可测集；
可测集和不可测集的判断方法：

采用内外侧度的方法：集合的外侧度是包住集合的矩体的体积和的下确界，而集合的内测度就是将集合挖去矩体后剩下部分的体积和的上确界（包含在集合中闭集测度的上确界），当内外侧度相等（ $m^{*}E=m_{*}E$ ）时，集合就为可测集；但这样的界定方式无法推广到一般的抽象背景上去，且从可加性角度看问题有重大缺陷，因为不能由内测度有可加性推出外侧度有可加性；
以可测集证可测集：若 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 为可测集，但我们并不知晓可测集的定义，而且 $\complement E=\mathbb{R}^{n}-E$ 也是可测集；之后验证在任意的开矩体上，总有 $m^{*}I=m^{*}\left ( I\cap E \right )+m^{*}\left ( I-E \right )$ ；再借此证明下面的可测集定义；

勒贝格可测集/ $m^{*}$ -可测集：当 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 时，若 $\forall$ 点集 $T\subset \mathbb{R}^{n}$ ，都有 $m^{*}T=m^{*}\left ( T\cap E \right )+m^{*}\left (T-E \right )$ （卡拉西奥多里（Carathéodory）条件，其等价于 $\forall A\subset E,B\subset \complement E,m^{*}\left ( A\cup B \right )=m^{*}A+m^{*}B$ ），则称为勒贝格可测集，为试验集；可测集的全体集合称为可测集类； $m^{*}E$ 就为勒贝格测度；
可测集的性质和定理：

常见的可测集： $\varnothing ,\mathbb{R}^{n}$ ，矩体（满足 $m^{*}I=\left | I \right |$ ），开集，闭集，零测集，；
$E\subset \mathbb{R}^{n}$ 为可测集 $\Leftrightarrow \complement E=\mathbb{R}^{n}-E$ 为可测集；
$m^{*}E=0\Rightarrow E$ 为可测集；
$E_{1},E_{2}$ 为可测集 $\Rightarrow E_{1}\cup E_{2},E_{1}\cap E_{2},E_{1}-E_{2}$ 为可测集（即可测集有限次取交或并运算后的集合仍为可测集）；
可测集无限次取交或并运算后的集合仍为可测集；
可数可加性/ $\sigma$ -可加性：若可测集 $\left \{ E_{k} \right \}$ 互不相交， $m\left ( \bigcup_{k=1}^{\infty }E_{k} \right )=\sum_{k=1}^{\infty }mE_{k}$ ；
若有单调递增可测集列 $E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{k}\subset \cdots$ ，则 $m\left ( \lim_{k\rightarrow \infty }E_{k} \right )=\lim_{k\rightarrow \infty }mE_{k}$ ；
若有单调递减可测集列 $E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots \supset E_{k}\supset \cdots$ ，且 $\exists k_{0},mE_{k_{0}}< +\infty$ ，则 $m\left ( \lim_{k\rightarrow \infty }E_{k} \right )=\lim_{k\rightarrow \infty }mE_{k}$ ；（反例是： $E_{k}=\left ( k,+\infty \right ),m\left ( \lim_{k\rightarrow \infty }E_{k} \right )=m\left ( \varnothing \right )=0\neq \lim_{k\rightarrow \infty }mE_{k}=+\infty$ ）
已知可测集列 $\left \{ E_{i} \right \}$ ， $\lim_{k\rightarrow \infty }E_{k}$ 存在则 $\lim_{k\rightarrow \infty }E_{k}$ 可测；若 $\exists k_{0},m\left ( \bigcup_{k=k_{0}}^{\infty }E_{k} \right )< +\infty$ ，则 $m\left ( \lim_{k\rightarrow \infty }E_{k} \right )=\lim_{k\rightarrow \infty }mE_{k}$ ；
已知 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ ，则 $\exists G_{\delta }$ 集（可数个开集的交） $G\supset E$ ，且有 $mG=m^{*}E$ ；

实变函数自制笔记5：勒贝格测度论

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