2025年复合函数的导数及证明

科技前沿 • 2025-01-29 09:12 • 阅读 61

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我们都知道对于在 $x_0$ 处连续且可导的函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，令 $h (x) = f (g (x))$ ，若 $h (x)$ 在 $x_0$ 处连续且可导，则 $h'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)$ 。但是为什么是这样的呢？

求证：对于在 $x_0$ 处连续且可导的函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，令 $h (x) = f (g (x))$ ，若 $h (x)$ 在 $x_0$ 处连续且可导，则 $h'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)$

解：
$\uad$ 根据导数定义， $h'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}$

$\uad$ 因为 $g$ 为连续函数

$\uad$ 所以当 $x\rightarrow x_0$ 时， $g(x)\rightarrow g(x_0)$

$\uad$ ①若 $g(x)\neq g(x_0)$

$\uad$ 因为 $f'(u_0)=\lim\limits_{u\rightarrow u_0}\dfrac{f(u)-f(u_0)}{u-u_0}$

$\uad$ 当 $u=g(x),u_0=g(x_0)$ 时， $f'(g(x_0))=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(g(x))-f(g(x_0))}{g(x)-g(x_0)}$

$\uad$ 又因为 $g'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$

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$\uad$ 所以 $h'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(g(x))-f(g(x_0))}{g(x)-g(x_0)}\cdot \dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)$

$\uad$ ②若 $g(x)=g(x_0)$

$\uad$ 则 $f(g(x))=f(g(x_0))$

$\uad h'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}=0$

$\uad f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f'(g(x_0))\times 0=0$

$\uad$ 所以 $h'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)$

$\uad$ 综上所述， $h'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)$

由此可得， $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

2025年复合函数的导数及证明

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