2025年流体的本构方程

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1. 控制体表面应力张量

2. 应变率张量与亥姆霍兹速度分解定理

3. 流体的本构方程——应力张量与变形率张量的一般线性关系

1. 控制体表面应力张量

控制体x方向表面压力可见图：

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那么作用于单位体积流体的表面压力为：

注意，这里Px, Py, Pz均为向量。则其可分解为：

其中，第一个下标代表应力所在平面的外法线方向，第二个下标代表应力方向。这里，为了描述微元上的应力，将应力张量表示为：

则外法线单位矢量 $\overrightarrow{n} = [n_{x}\ n_{y}\ n_{z}]$ 方向上的表面应力（压力）为：

$\tau_{n} = [\tau_{nx}\ \tau_{ny}\ \tau_{nz}] = \overrightarrow{n}[\tau ]$

则单位体积流体的表面力为：

2. 应变率张量与亥姆霍兹速度分解定理

将速度增量沿三个方向分解得

$\delta V=\begin{bmatrix} \delta u \\ \delta v \\ \delta w \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}& \frac{\partial u}{\partial z} \\\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}& \frac{\partial v}{\partial z} \\\frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y}& \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \delta x \\ \delta y \\ \delta z \end{bmatrix}$

将系数矩阵进行分解得

$\begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}& \frac{\partial u}{\partial z} \\\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}& \frac{\partial v}{\partial z} \\\frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y}& \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix} =$ $\begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}=\xi _{xx} & \frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})=\xi _{xy}& \frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x})=\xi _{xz} & \\ \frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y})=\xi _{yx}& \frac{\partial v}{\partial y}=\xi _{yy} & \frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y})=\xi _{yz} & \\ \frac{1}{2}(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z})=\xi _{zx}& \frac{1}{2}(\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z})=\xi _{zy} & \frac{\partial w}{\partial z}=\xi _{zz} & \end{bmatrix}+$ $\begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial x})=-\omega _{z}& \frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x})=\omega_{y} & \\ \frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y})=\omega _{z}& 0 & \frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial y})=-\omega_{x} & \\ \frac{1}{2}(\frac{\partial w}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial z})=-\omega _{y}& \frac{1}{2}(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z})=\omega _{x} & 0& \end{bmatrix}$

令

$E=\begin{bmatrix} \xi _{xx}& \xi _{xy} &\xi _{xz} \\ \xi _{yx} & \xi _{yy}&\xi _{yz} \\ \xi _{zx}&\xi _{zy} & \xi _{zz} \end{bmatrix}$ ， $\overrightarrow{\omega} =\omega_{x}\overrightarrow{i}+\omega_{y}\overrightarrow{j}+\omega_{z}\overrightarrow{k}$ , $\overrightarrow{\delta r} =x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$

称E为流体的应变率张量或变形速率张量， $\overrightarrow{\omega}$ 为流体的转动角速度矢量，则：

$\overrightarrow{V}(M)=\overrightarrow{V}(M_{0})+E\cdot \overrightarrow{\delta r}+\omega\times \overrightarrow{\delta r}$

其三项分别对应M点平动速度、流体变形速度、绕M中心圆转速度。

关于矩阵和 $\omega$ ，从物理上解释，有：

$\frac{\partial u}{\partial x}=\xi_{xx}$ 为相对伸长率； $\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})=\xi _{xy}=\xi_{yx}$ 为平均角变形率，诸如此类推。

则，微团体积相对膨胀率可推得为 $div V=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}$ , 而对于不可压缩流体，体积膨胀率为0。 $\overrightarrow{\omega}=\frac{1}{2}rot\overrightarrow{V}$ 为流体微元旋转角速度。对于无旋流动， $rot\overrightarrow{V}=0$ 。