配凑法

配凑法

科技前沿 • 2025-01-17 12:19 • 阅读 46

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

前言

配凑法也是高中数学中比较常用的一种数学方法。

使用场景

为了将分式函数化简，使用配凑法；
为了使用均值不等式，使用配凑法；

典例剖析

例1【配凑和为定值，为使用均值不等式】已知\(x，y>0\)，\(2x+3y=4\)，求\(xy\)的最大值；

法1：\(xy=\cfrac{6xy}{6}=\cfrac{(2x)\cdot (3y)}{6}\leq \cfrac{1}{6}\cdot \Big(\cfrac{2x+3y}{2}\Big)^2=\cfrac{2}{3}\)

当且仅当

法2：代换法，变量集中。

例2【配凑为消去一部分分母，便于使用均值不等式】已知\(a>1，b>0， a+b=4\)，求\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b}\)的最小值。

分析：由于\(a+b=4\Longrightarrow (a-1)+b=3\)，

故\(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b}=\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b})\times 3\) \(=\cfrac{1}{3}(\cfrac{1}{a-1}+\cfrac{4}{b})\times [(a-1)+b]\)

\(=\cfrac{1}{3}(1+4+\cfrac{b}{a-1}+\cfrac{4(a-1)}{b})\geqslant \cfrac{1}{3}(5+2\sqrt{4})=3\)，

当且仅当

例3【】研究函数\(f(x)=\cfrac{x^2}{3-x}\)的图像或者单调性，

讯享网

分析：

①[配凑法]变形，\(\cfrac{x^2}{3-x}=-\cfrac{x^2}{x-3}=-\cfrac{(x-3)^2+6x-9}{x-3}\)\(=-(x-3)-\cfrac{6x-18+9}{x-3}=-(x-3)-\cfrac{9}{x-3}-6\)\(=-[(x-3)+\cfrac{9}{x-3}]-6\)；

其图像可以借助\(f(x)=x+\cfrac{9}{x}\)的图像变换得到，借助图像就可以研究其所有性质了；

②[换元法]变形，令\(3-x=t\)，则\(x=3-t\)，则\(f(x)=\cfrac{x^2}{3-x}=\cfrac{(3-t)^2}{t}\)\(=\cfrac{t^2-6t+9}{t}=t+\cfrac{9}{t}-6=(3-x)+\cfrac{9}{3-x}-6\)\(=-[(x-3)+\cfrac{9}{x-3}]-6\)；

③也可以使用导数法研究，但是和上述方法[其优越性在于能用上我们积累的常用的模板函数的性质]相比，感觉繁琐，

例4已知函数\(f(x)\)满足条件 \(f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}\)，求\(f(x)\)的解析式；

分析： \(f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}=(\sqrt{x}+1)^2-1\)，

注意右端需要配凑出以\(\sqrt{x}+1\)为整体变量的代数式，以便于下一步的代换，到此配凑工作结束；

令\(\sqrt{x}+1=t\)，则新元\(t\ge 1\)

故解析式为\(f(t)=t^2-1(t\ge 1)\)，再将自变量替换为我们适应的\(x\)，

则所求的解析式为\(f(x)=x^2-1(x\ge 1)\)。

解后反思：在等号的右端配凑出关于自变量整体的代数式，然后做代换。

前言

使用场景

典例剖析

相关推荐