2025年牛顿法入门

科技前沿 • 2025-03-11 16:05 • 阅读 40

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介绍

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

主要是因为多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可解，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程 f(x)=0
讯享网的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程 f(x)=0 单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

1.应用牛顿法求解方程根

f(x)在x0处的泰勒级数展开如下：

这里只展开到一阶导数，即：

$f(x)=f(x_{0})+{f}'(x_{0})(x-x_{0})$

令其等于零

$f(x)=f(x_{0})+{f}'(x_{0})(x-x_{0})=0$

化简可得：

$x=x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f{(x^{_{0}})}'}$

但是由于泰勒级数展开只是近似等于原函数，所以这里求解的x1只是近似解，并非原方程真实解，有没有一种方法让近似解的值无限逼近真实值呢？答案是肯定的，我们只需要令x1=x0,继续重复上述步骤，通过迭代就能不断逼近真实解了，即迭代公式为：

$x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f{(x^{_{k}})}'}$

上图非常生动地展示了迭代求解地过程，可以发现随着迭代次数的增加，近似解不断地逼近真实解，当误差满足我们所需要地精度时，就可以认为二者相等了。

一个简单的求方程 $f(x)=x^{2}-c$ 根的实例

这里推荐B站老师讲的一个几分钟地视频：牛顿求根法_哔哩哔哩_bilibili，感兴趣的可以看一下。

matlab求解代码如下：

clc E = 1E-7;%设置误差精度 C = 3;%这里常数取3 x0 = 5;%设置初值，可以任意值 fun = @(x)x^2-C;%函数表达式 dfun = @(x)2*x; while true %设置迭代 x1 = x0-fun(x0)/dfun(x0); if abs(x1 - x0) < E break; end x0 = x1; end result = x1;

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2.牛顿法求解最优化问题

牛顿法也可以应用于最优化问题，是一种被广泛使用并拓展的最优化算法。为了便于理解，我们以一维空间为例：

假设 f(x) 是损失函数，我们的目标是找到能够使 f(x) 最小化的 x
即对 f'(x) = 0 求解

将牛顿法迭代公式中的 f(x) 替换为 f'(x)，f'(x) 替换为 f''(x)，我们得到新的迭代公式

一元二阶函数最小值实例

考虑无约束条件，最小值问题

$minf(x)=2x^{2}+\frac{16}{x}$

依据上文求解步骤，matlab代码如下：

讯享网clear all; clc E = 1E-7;%设置误差精度 dfun = @(x)4*x-16/x^2;%函数一阶导数和二阶导数表达式 ddfun = @(x)4+32/x^3; x0 = 1;%设置初值，可以任意值 while true %设置迭代 x1 = x0-dfun(x0)/ddfun(x0); if abs(x1 - x0) < E break; end x0 = x1; end result = x1;

2025年牛顿法入门

介绍

1.应用牛顿法求解方程根

一个简单的求方程根的实例

2.牛顿法求解最优化问题

一元二阶函数最小值实例

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一个简单的求方程 $f(x)=x^{2}-c$ 根的实例