漫步数学分析二十一——逐点收敛与一致收敛

科技前沿 • 2025-01-14 13:19 • 阅读 57

漫步数学分析二十一——逐点收敛与一致收敛对一个函数序列来说最自然的收敛类型可能是逐点 pointwise 收敛定义如下定义 1 函数序列 f k A R m A R n 逐点收敛到 f A R m 如果对于每个 x A f k x f x 的话像

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对一个函数序列来说，最自然的收敛类型可能是逐点(pointwise)收敛，定义如下。

定义1 函数序列 fk:A→Rm,A⊂Rn 逐点收敛到 f:A→Rm ，如果对于每个 x∈A,fk(x)→f(x) 的话(像 Rm 中的序列收敛一样)。如果 fk 逐点收敛到 f ，我们经常写成 fk→f 。

这种类型的收敛在某些情况下是非常有用的，而在其他情况下就没有意义了。逐点收敛的主要弊端在于即便函数 fk 是连续的， f 却不一定连续。例如，考虑图1，
fk(x)={0−kx+1x≥1k0≤x<1k

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