Prim算法

Prim(普利姆)算法是求解最小生成树的经典算法

什么是最小生成树

即给定一个无向图，在这个无向图中选择一些边能够把图中的所有结点都连接起来，并且所有边的长度之和是最短的

下图中红色的边就形成了一棵最小生成树，红色的边将所有的点都连接起来了，所有红色边的权重之和最小。

讯享网

Prim算法基本思想

我们维护一个集合，最开始集合为空，所有边的权重初始为无穷大（实际上我们并不用设置无穷大，用一个相对较大的数就可以了，代表两点之间不可达）。我们每次都选取距离集合最近的一个点（即距离集合权重最小的点），选取之后就将该点加入集合，并且用该点 更新 与该点相连的 还没加入集合点的权重。

0. 初始化
   
1. 选取节点 $1$ 加入集合，并用该点更新权重（注意：第一步的节点可以随便选），此时集合为 { 1 } \{1\} { 1}

2. 选取距离集合最近的一个点加入集合，并更新权重，第二次选择节点 $2$，集合为 { 1 , 2 } \{1,2\} { 1,2}

3. 选取距离集合最近的一个点加入集合，并更新权重，第二次选择节点 $3$，集合为 { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} { 1,2,3}

4. 选取距离集合最近的一个点加入集合，并更新权重，第二次选择节点 $7$，集合为 { 1 , 2 , 3 , 7 } \{1,2,3,7\} { 1,2,3,7}

…

就这样一直迭代下去，直到将所有的点都加入到集合中。在迭代的过程中我们可以记录最小生成数的权值和，也可以将最小生成树中的边打印出来。

2.代码实现

输入：

7 11 1 2 18 1 7 18 1 6 19 2 7 20 2 3 8 3 4 20 4 7 15 4 6 16 4 5 9 5 6 3 6 7 15 

输出：

讯享网1 ---> 2 2 ---> 3 1 ---> 7 7 ---> 4 4 ---> 5 5 ---> 6 dist 18 8 8 9 3 3 15 距离 -> 71 

实现代码：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 510,INF = 0x3f3f3f3f; int g[N][N],dist[N];// g是邻接矩阵 用于存储边 g[a][b] = w 代表 a 到 b 的距离为w //dist[i] 代表与i点相连的最短一条边的距离  int n,m; //要求给定n个点 和 m条边 bool st[N]; //st记录某一个点是否加入集合 st[i] = true 代表i点已经加入集合 反之则没有 int prim(){ 
    //最开始初始化为无穷大 memset(dist,0x3f,sizeof dist); int ans = 0; //由于我们需要将 给定的 n个点都加入集合，所以需要循环n次 for(int i = 0;i < n;i++){ 
    //从 尚未加入集合 的点里面选取一个距离集合最短的点，如果集合为空则选择第一个点 int t = -1; for(int j = 1;j <= n;j++){ 
    if(!st[j] && (t==-1 || dist[t] > dist[j])) t = j; } //从集合中找出 距离 当前点 t 最近的点 //pre -> t 的边就是新加入最小生成树的边 if(i > 0){ 
    int ans = INF; int pre = -1; for(int j = 1;j <= n;j++){ 
    if(st[j]){ 
    if(ans > g[j][t]){ 
    ans = g[j][t]; pre = j; } } } printf("%d ---> %d\n",pre,t); } //如果存在有些点不可达，就无法形成最小生成树，直接返回 //当 i = 0 时，此时集合是为空的，第一个要加入到集合中的点是1，此时还没加入到集合 //并且也没更新距离，所以需要跳过 if(i > 0 && dist[t] == INF) return INF; //将 点t 加入到集合中 st[t] = true; //当i > 0,比如 i = 1，也就是第二轮循环，此时集合中有2个点，才能确定一条边 if(i > 0) ans += dist[t];//记录最小生成树每条边的距离 //用点t 更新距离 for(int j = 1;j <= n;j++){ 
    dist[j] = min(dist[j],g[t][j]); } } return ans; } int main(){ 
    cin>>n>>m; memset(g,0x3f,sizeof g); while(m--){ 
    int a,b,w; scanf("%d%d%d",&a,&b,&w); //因为是无向图 即 a 可以到达 b，b 也可以到达 a //可能会存在重边的情况，我们只需要记录最小值 g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],w); } int t = prim(); printf("dist "); for(int i = 1;i <= n;i++) printf("%d ",dist[i]); puts(""); if(t == INF) puts("不存在最小生成树！！！"); else printf("距离 -> %d\n",t); return 0; } 

3.例题

题目链接

Prim算法求最小生成树

题目描述

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示图中点的集合，$E$ 表示图中边的集合，$n=|V|$，$m=|E|$。

由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n-1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$ 的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $u,v,w$，表示节点 $u$ 和 节点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

数据范围

• $\le n\le 500$
• $1\le m\le 10^5$
• 图中涉及边的边权的绝对值均 不超过 $10000$。

输入样例:

讯享网4 5 1 2 1 1 3 2 1 4 3 2 3 2 3 4 4 

输出样例：

6 

时间复杂度：$O(n^2)$

C++代码：

讯享网#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 510,INF = 0x3f3f3f3f; int g[N][N],dist[N]; int n,m; bool st[N]; int prim(){ 
    memset(dist,0x3f,sizeof dist); int ans = 0; for(int i = 0;i < n;i++){ 
    int t = -1; for(int j = 1;j <= n;j++){ 
    if(!st[j] && (t==-1 || dist[t] > dist[j])) t = j; } if(i && dist[t] == INF) return INF; st[t] = true; if(i) ans += dist[t]; for(int j = 1;j <= n;j++) dist[j] = min(dist[j],g[t][j]); } return ans; } int main(){ 
    cin>>n>>m; memset(g,0x3f,sizeof g); while(m--){ 
    int a,b,w; scanf("%d%d%d",&a,&b,&w); g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],w); } int t = prim(); if(t == INF) puts("impossible"); else printf("%d\n",t); return 0; }