2025年锐角三角形的一些结论及证明

科技前沿 • 2025-02-23 19:11 • 阅读 67

大家好，我是讯享网，很高兴认识大家。

$\Delta ABC$ 是锐角三角形，三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$

基础结论：
$a, b, c > 0$
$A,B,C\in(0,\frac \pi 2)$
$\sin A,\sin B,\sin C\in(0,1)$ 且分别随 $A, B, C$ 的增大而增大
$\cos A,\cos B,\cos C\in(0,1)$ 且分别随 $A, B, C$ 的增大而减小
特别地，若 $C$ 是最大的角，则有 $C\in[\frac \pi 3,\frac \pi 2)$

进阶结论：

任意两边的平方和大于第三边的平方
$a^2+b^2>c^2,b^2+c^2>a^2,a^2+c^2>b^2$

证明：
由余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
$\because C\in(0,\frac \pi 2)$
$\therefore \cos C>0$
又 $\because a>0,b>0$
$\therefore c^2<a^2+b^2$ （右边减去了一个正数）
其它两式同理可证

讯享网
锐角三角形任意一个内角的正弦值大于另一个内角的余弦值
即不等式 $\sin A>\cos B$ 恒成立

证明：
$C=\pi-A-B$
$\because C\in(0,\frac \pi 2)$
$\therefore A+B\in(\frac \pi 2,\pi)$
$\therefore A+B>\frac \pi 2$
$\therefore A>\frac \pi 2-B$
又 $\because A,\frac \pi 2-B\in(0,\frac \pi 2)$
$\therefore \sin A>\sin (\frac \pi 2-B)$
$\therefore \sin A>\cos B$
锐角三角形正弦值之和大于余弦值之和
即 $\sin A+\sin B+\sin C>\cos A+\cos B+\cos C$

证明：
令 $C$ 为 $\Delta ABC$ 最大的内角
则 $C\in[\frac \pi 3,\frac \pi 2)$
则 $\sin C\in[\frac {\sqrt 3} 2,1),\cos C\in[\frac 1 2,1)$ ，根据 $\sin$ 和 $\cos$ 在这一部分的单调性可知， $\sin C>\cos C$
$\sin A+\sin B-(\cos A+\cos B)$
$=2\sin\frac{A+B}2\cos\frac{A-B}2-2\cos\frac{A+B}2\cos\frac{A-B}2$
$=2\cos\frac{A-B}2(\sin\frac{A+B}2-\cos\frac{A+B}2)$
$\because A+B=\pi-C\in(\frac \pi 2,\frac {2\pi}{3}]$
$\therefore \frac{A+B}2\in(\frac \pi 4,\frac \pi 3]$
$\therefore \cos \frac{A+B}{2}\geq \frac 1 2>0$
即 $\sin \frac{A+B}2>\cos \frac{A+B}2$
又 $\cos \frac{A-B}2>0$
$\therefore \sin A+\sin B>\cos A+\cos B$
综上 $\sin A+\sin B+sinC>\cos A+\cos B+cosC$

2025年锐角三角形的一些结论及证明

相关推荐