工程力学(15)—平面图形的几何性质

工程力学(15)—平面图形的几何性质一 静矩与形心 1 静矩 面积与它到轴的距离之积 对于 X 轴的静矩 一图形微笑部分的面积 到 X 轴的距离 即 y 的乘积在整个平面上的积分 记作 Sx 对于 Y 轴的静矩 一图形微小部分的面积 到 X 轴的距离 即 x

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一:静矩与形心

1:静矩:面积与它到轴的距离之积

对于X轴的静矩:一图形微笑部分的面积,到X轴的距离,即y,的乘积在整个平面上的积分
记作:Sx

对于Y轴的静矩:一图形微小部分的面积,到X轴的距离,即x,的乘积在整个平面上的积分
记作:Sy
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2:形心

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exempli gratia:

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二:惯性矩,极惯性矩,惯性积

对X轴的惯性矩面积与到X轴的距离的平方的乘积,用Ix表示

对极惯性矩:面积到极点的二次矩,用IP表示

惯性矩:面积与到两轴距离之积,用Ixy表示
(需要注意的是,若XY是对称轴,则Ixy为0,两边分别积分,代数和为0)

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三:平行轴定理

在原来的坐标系下,找到图形的形心(a,b),以它作为新的坐标系XcYc坐标系的坐标原点。
那么原来坐标系中的点(X,Y)等于(Xc+a,Yc+c)

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在此情况下讨论之前所说的惯性矩,极惯性矩,惯性积。
代入求解,因为形心是坐标原点,也就是说yc的平均数是0,所以Sxc为0,同理Syc为0

意义:可以将图形的惯性矩,极惯性矩,惯性积与形心挂钩,
再利用形心在原坐标系的惯性矩,极惯性矩,惯性积,可以求出,一个图形对任一轴的惯性矩,极惯性矩,惯性积。

实际操作中:形心易求,到任一轴的距离也很方便求。

用法:一图形对某一轴的惯性矩,求出该图形的形心,以及到该轴的距离,套公式。

公式也很好记:对某一轴的惯性矩=对形心的惯性矩+形心到该轴距离*图形面积

应用:套公式即可

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四:组合截面的惯性矩求解

组合截面惯性矩的求解方法:分别求出各组成部分对指定轴的惯性矩,然后再进行叠加即可。请添加图片描述

例题:

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分别求对X,Y轴惯性矩进行相加,进行相加就是极惯性矩。

例题:

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