两个重要极限及相关推导极限

科技前沿 • 2025-01-06 23:29 • 阅读 60

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两个重要极限：
① $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$
② $\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$

关于重要极限①的推导极限可以参考：无穷小的等价代换

关于重要极限②的由来可以参考：自然常数e与重要极限

由重要极限②可以推导出：
$\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x \Rightarrow \lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

重要极限②的例题
例：求 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x + 3})^x$
解：
$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x + 3})^x$
$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{\frac{x + 3}{2}})^{(\frac{x+3}{2})·2 - 3}$
$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{\frac{x + 3}{2}})^{\frac{x+3}{2}·2} ·(1 + \frac{1}{\frac{x + 3}{2}})^{-3}$
$=\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{\frac{x + 3}{2}})^{\frac{x+3}{2}·2}$
$e^2$

关于重要极限②，还有一个变体例题，很容易迷惑人，但实际上并不是用重要极限的方法来做
例：求 $\lim_{x \to \infty}(1+2x)^{\frac{1}{x}}$
解：
$(1+2x)^{\frac{1}{x}} = e^{\ln(1+2x)^{\frac{1}{x}}} = e^{\frac{\ln (1+2x)}{x}}$
所以：
$\lim_{x \to \infty}(1+2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty}e^{\frac{\ln (1+2x)}{x}} = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1+2x)}{x}}$
应用洛必达法则，得：
$e^{\lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1+2x)}{x}} = e^{\lim_{x \to \infty} \frac{2}{1+2x}} = e^0 = 1$

两个重要极限及相关推导极限

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