默慈金数

默慈金数

科技前沿 • 2025-02-13 11:17 • 阅读 25

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今天学习一下一个新的知识，“默慈金数”这是一个默慈金数的题目，那么什么叫默慈金数呢。

默慈金数是在数学中，一个给定的数n的默慈金数是“在一个圆上的n个点间，画出彼此不相交的弦

的全部方法的总数”。——摘自百度百科

具体以一个例题来说明一下：

51NOD 1556 计算

有一个1*n的矩阵固定第一个数为1 其他填正整数且相邻数的差不能超过1 求方案数%1e9+7的结

果

Input

一个数n 表示1*n的矩阵（n<=10^6）

Output

一个数表示方案数%1e9+7的结果

Input示例

Output示例

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解题思路：

默慈金数的实例表示：像例如在一个“网格”上，若限定“每步只能向右移动一格(可以向右上、右

下横向向右)，并禁止移动到 y=0 以下的地方”，则以这种走法用 n 步从 (0,0) 移动至 (n,0)

的可能形成的路径的总数为 n 的默慈金数。那么这个题目就是。本题是从(0, 1)出发，我们调整一

下坐标轴即可，不影响后续的计算。

本题与默慈金数的模型的不同点是，我们要从 (0,0) 出发，而终点为 (n,x) ， x>=0 。这时我们

就需要逆向思维，已有模型不能帮助我们从正向推理出答案，但是可以帮助排除错误答案。因为默

慈金数为 (0,0)=>(x,0) ，如果在 x+1 处，我们向右下走，那么肯定不符合题目的限制，在

x+2...n 这一段无论怎么走，都是非法的。所以总的走法为 3n ，然后排除所有的错误走法，就

是最终的答案了。具体推出公式就是： ans[n] = 3∗ans[n−1]−M[n−2] 其中 M[n]

表示的是默慈金数。 M[n]=(2∗n+1)∗M[n−1]+3∗(n−1)∗M[n−2]n+2

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#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <algorithm> #include <map> using namespace std; typedef long long LL; const LL MOD = 1e9+7; const int MAXN = 1e6+5; LL ans[MAXN], M[MAXN]; void Exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)///求逆元 { if(b == 0) { x = 1; y = 0; return; } LL x1, y1; Exgcd(b, a%b, x1, y1); x = y1; y = x1-(a/b)*y1; } void get_Motzkin()///得到默慈金数 { LL x, y; M[1] = 1, M[2] = 2; for(int i=3; i<MAXN; i++) { Exgcd(i+2, MOD, x, y); x = (x%MOD+MOD)%MOD; M[i] = ( ((2*i+1)*M[i-1])%MOD + ((3*i-3)*M[i-2])%MOD ) * x; M[i] = (M[i]%MOD+MOD)%MOD; } } void Init() { get_Motzkin(); ans[1] = 1, ans[2] = 2; for(int i=3; i<MAXN; i++) { ans[i] = (3*ans[i-1]-M[i-2]); ans[i] = (ans[i]%MOD+MOD)%MOD; } } int main() { Init(); int n; while(~scanf("%d",&n)) { printf("%I64d\n",ans[n]); } return 0; }

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