1 卷积定义
若 f ( x ) f(x) f(x)与 h ( x ) h(x) h(x)有界且可积，一维函数卷积连续形式 g ( x ) = f ( x ) ∗ h ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( ξ ) h ( x − ξ ) d ξ \begin{aligned}g(x)&=f(x)*h(x)\\ &=\int^{+\infty}_{-\infty}f(\xi)h(x-\xi)d\xi\end{aligned} g(x)=f(x)∗h(x)=∫−∞+∞f(ξ)h(x−ξ)dξ一维函数卷积离散形式 g ( x ) = f ( x ) ∗ h ( x ) = ∑ ξ f ( ξ ) h ( x − ξ ) \begin{aligned}g(x)&=f(x)*h(x)\\ &=\sum\limits_{\xi}f(\xi)h(x-\xi)\end{aligned} g(x)=f(x)∗h(x)=ξ∑f(ξ)h(x−ξ)二维函数卷积的连续形式表示为 g ( x , y ) = f ( x , y ) ∗ h ( x , y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( ξ , η ) h ( x − ξ , y − η ) d ξ d η \begin{aligned}g(x,y)&=f(x,y)*h(x,y)\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(\xi,\eta)h(x-\xi,y-\eta)d\xi d\eta\end{aligned} g(x,y)=f(x,y)∗h(x,y)=∫−∞+∞∫−∞+∞f(ξ,η)h(x−ξ,y−η)dξdη二维函数卷积的离散形式表示为 g ( x , y ) = f ( x , y ) ∗ h ( x , y ) = ∑ ξ ∑ η f ( ξ , η ) h ( x − ξ , y − η ) \begin{aligned}g(x,y)&=f(x,y)*h(x,y)\\ &=\sum\limits_{\xi}\sum\limits_{\eta}f(\xi,\eta)h(x-\xi,y-\eta)\end{aligned} g(x,y)=f(x,y)∗h(x,y)=ξ∑η∑f(ξ,η)h(x−ξ,y−η)则称 g ( x ) g(x) g(x)称为函数 f ( x ) f(x) f(x)与 h ( x ) h(x) h(x)的卷积。其中 ∗ * ∗表示卷积符号。 g ( x ) g(x) g(x)是 f ( x ) f(x) f(x)与 h ( x ) h(x) h(x)两个函数共同作用的结果。对于给定的 x x x，第一个函数贡献是 f ( ξ ) f(\xi) f(ξ)，则第二个函数的贡献是 h ( x − ξ ) h(x-\xi) h(x−ξ)，需要对任何可能的 ξ \xi ξ求和。
2 卷积的性质
卷积共满足如下六种性质：
- 交换律： f ( x ) ∗ h ( x ) = h ( x ) ∗ f ( x ) f(x)*h(x)=h(x)*f(x) f(x)∗h(x)=h(x)∗f(x)
- 分配律： [ v ( x ) + w ( x ) ] ∗ h ( x ) = v ( x ) ∗ h ( x ) + w ( x ) ∗ h ( x ) [v(x)+w(x)]*h(x)=v(x)*h(x)+w(x)*h(x) [v(x)+w(x)]∗h(x)=v(x)∗h(x)+w(x)∗h(x)
- 结合律： [ v ( x ) ∗ w ( x ) ] ∗ h ( x ) = v ( x ) ∗ [ w ( x ) ∗ h ( x ) ] [v(x)*w(x)]*h(x)=v(x)*[w(x)*h(x)] [v(x)∗w(x)]∗h(x)=v(x)∗[w(x)∗h(x)]
- 三角不等式： ∣ f ( x ) ∗ h ( x ) ∣ ≤ ∣ f ( x ) ∣ ∗ ∣ h ( x ) ∣ |f(x)*h(x)|\leq |f(x)|*|h(x)| ∣f(x)∗h(x)∣≤∣f(x)∣∗∣h(x)∣
- 位移不变性：若 f ( x ) ∗ h ( x ) = g ( x ) f(x)*h(x)=g(x) f(x)∗h(x)=g(x)，则 f ( x − x 0 ) ∗ h ( x ) = g ( x − x 0 ) f(x-x_0)*h(x)=g(x-x_0) f(x−x0)∗h(x)=g(x−x0)或 f ( x ) ∗ h ( x − x 0 ) = g ( x − x 0 ) f(x)*h(x-x_0)=g(x-x_0) f(x)∗h(x−x0)=g(x−x0)
- 缩放性：若 f ( x ) ∗ h ( x ) = g ( x ) f(x)*h(x)=g(x) f(x)∗h(x)=g(x)，则 f ( x b ) ∗ h ( x b ) = ∣ b ∣ g ( x b ) f(\frac{x}{b})*h(\frac{x}{b})=|b|g(\frac{x}{b}) f(bx)∗h(bx)=∣b∣g(bx)
3 卷积实例
已知 f ( t ) = { 1 0 ≤ t ≤ 1 0 o t h e r w i s e g ( t ) = { e − β t t ≥ 0 0 t < 0 f(t)=\left\{\begin{array}{ll}1 & 0 \leq t \leq 1 \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{array} \right .\quad \quad g(t)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-\beta t}& t \geq 0\\0& t<0\end{array}\right. f(t)={
100≤t≤1otherwiseg(t)={
e−βt0t≥0t<0求 f ( t ) ∗ g ( t ) f(t)*g(t) f(t)∗g(t)。
解： g ( t − τ ) = { e − β ( t − τ ) t ≥ τ 0 t < τ g(t-\tau)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-\beta(t-\tau)} & t \geq \tau \\ 0 & t < \tau \end{array}\right. g(t−τ)={
e−β(t−τ)0t≥τt<τ
当 t < 0 t < 0 t<0时， f ( τ ) g ( t − τ ) f(\tau)g(t-\tau) f(τ)g(t−τ)， ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) g ( t − τ ) d τ = 0 \int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau=0 ∫−∞+∞f(τ)g(t−τ)dτ=0
当 t ≥ 0 t \geq 0 t≥0时， f ( τ ) g ( t − τ ) = { e − β ( t − τ ) 0 ≤ τ ≤ t 0 o t h e r w i s e f(\tau)g(t-\tau)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-\beta(t-\tau)} & 0 \leq \tau \leq t \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{array}\right. f(τ)g(t−τ)={
e−β(t−τ)00≤τ≤totherwise ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) g ( t − τ ) d τ = ∫ 0 t f ( τ ) g ( t − τ ) d τ = ∫ 0 t e − β ( t − τ ) d τ = 1 β ( 1 − e − β t ) \int^{+\infty}_{-\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau=\int_{0}^{t} f(\tau) g(t-\tau) d \tau=\int_{0}^{t} e^{-\beta(t-\tau)} d \tau=\frac{1}{\beta}\left(1-e^{-\beta t}\right) ∫−∞+∞f(τ)g(t−τ)dτ=∫0tf(τ)g(t−τ)dτ=∫0te−β(t−τ)dτ=β1(1−e−βt)
当 t > 1 t>1 t>1时， f ( τ ) g ( t − τ ) = { e − β ( t − τ ) 0 ≤ τ ≤ 1 0 otherwise f(\tau) g(t-\tau)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\beta(t-\tau)} & 0 \leq \tau \leq 1 \\ 0 & \text {otherwise} \end{array}\right. f(τ)g(t−τ)={
e−β(t−τ)00≤τ≤1otherwise ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) g ( t − τ ) d τ = ∫ 0 1 e − β ( t − τ ) d τ = e − 1 β e − β t \int^{+\infty}_{-\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau=\int_{0}^{1}e^{-\beta(t-\tau)}d\tau=\frac{e-1}{\beta}e^{-\beta t} ∫−∞+∞f(τ)g(t−τ)dτ=∫01e−β(t−τ)dτ=βe−1e−βt
综上所述可知：
f ( t ) ∗ g ( t ) = { 0 t < 0 1 β ( 1 − e − β t ) 0 ≤ t ≤ 1 e − 1 β e − β t t > 1 f(t) * g(t)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & t<0 \\ \frac{1}{\beta}\left(1-e^{-\beta t}\right) & 0 \leq t \leq 1 \\ \frac{e-1}{\beta} e^{-\beta t} & t>1 \end{array}\right. f(t)∗g(t)=⎩⎨⎧0β1(1−e−βt)βe−1e−βtt<00≤t≤1t>1
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