1. 把定积分定义为积分和的极限
∫ a b f ( x ) d x = lim ∑ f ( ξ i ) ( x i − x i − 1 ) \int_a^bf(x)dx=\lim\sum f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) ∫abf(x)dx=lim∑f(ξi)(xi−xi−1)
来看一道利用积分和式求极限的公式：
设 f ( x ) f(x) f(x) 在 [0, 1] 上连续， u n = 1 n ∑ i = 1 n f ( i n ) u_n=\frac1n\sum\limits_{i=1}^nf\left(\frac in\right) un=n1i=1∑nf(ni) 或 u n = 1 n ∑ i = 0 n − 1 f ( i n ) u_n=\frac1n\sum\limits_{i=0}^{n-1}f\left(\frac in\right) un=n1i=0∑n−1f(ni)（0-1分为N份），则：
lim n → ∞ u n = lim n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n f ( i n ) = ∫ 0 1 f ( x ) d x \lim_{n\to \infty}u_n=\lim_{n\to \infty}\frac1n\sum\limits_{i=1}^nf\left(\frac in\right)=\int_{0}^1f\left(x\right)dx n→∞limun=n→∞limn1i=1∑nf(ni)=∫01f(x)dx
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